Factorise (m^2+4mn+4n^2-25).(m^2+4mn+4n^2-25) को गुणनखंडित कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((m+2n-5)(m+2n+5))((m+2n-5)(m+2n+5))
The first three terms form a perfect square: \(m^2+4mn+4n^2=(m+2n)^2\). The whole expression is therefore \((m+2n)^2-25\). Since \(25=5^2\), apply \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\), with \(u=m+2n\) and \(v=5\). This gives \((m+2n-5)(m+2n+5)\), so option A is correct.
Expanding the factors confirms the result because their product is \((m+2n)^2-5^2=m^2+4mn+4n^2-25\). Option B uses \(m-2n\), which changes the sign of the middle term. C is a sum rather than a difference of squares, and D does not factor the expression in the required way. First identify the hidden square, then apply the appropriate identity.पहले तीन पद पूर्ण वर्ग बनाते हैं: \(m^2+4mn+4n^2=(m+2n)^2\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((m+2n)^2-25\) है। चूँकि \(25=5^2\), पहचान \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\) लगाएँ, जहाँ \(u=m+2n\) और \(v=5\)। इससे \((m+2n-5)(m+2n+5)\) मिलता है, अतः विकल्प A सही है।
गुणा करने पर भी यही परिणाम मिलता है, क्योंकि गुणनफल \((m+2n)^2-5^2=m^2+4mn+4n^2-25\) है। विकल्प B में \(m-2n\) लेने से मध्य पद का चिन्ह बदल जाता है। C वर्गों का अंतर नहीं, बल्कि वर्गों का योग है, और D अपेक्षित रूप से गुणनखंड नहीं करता। पहले छिपे हुए पूर्ण वर्ग को पहचानें, फिर उपयुक्त पहचान लगाएँ।
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