Completely factorise (x^4-16).(x^4-16) को पूर्णतः गुणनखंडित करें।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((x-2)(x+2)(x^2+4))पूर्ण रूप
Complete factorisation means continuing until no factor can be split further over the usual integer factors. First, \(x^4-16\) is a difference of squares: \( (x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)\). The factor \(x^2-4\) is also a difference of squares, so it becomes \( (x-2)(x+2)\). Hence the complete factorisation is \( (x-2)(x+2)(x^2+4)\), option B.
The expression \(x^2+4\) cannot be factored further using integer linear factors, while stopping at \( (x^2-4)(x^2+4)\) is only partial factorisation. Option C uses 4 and 16 incorrectly as a difference of squares, and D does not expand to the original polynomial. Thus the supplied answer is correct.पूर्ण गुणनखंडन का अर्थ है कि जहाँ तक संभव हो, गुणनखंडों को आगे भी तोड़ा जाए। पहले \(x^4-16\) दो वर्गों का अंतर है: \( (x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)\)। फिर \(x^2-4\) भी दो वर्गों का अंतर है, इसलिए यह \( (x-2)(x+2)\) बनेगा। अतः पूर्ण रूप \( (x-2)(x+2)(x^2+4)\) है और विकल्प B सही है।
\(x^2+4\) को सामान्य पूर्णांक रैखिक गुणनखंडों में आगे नहीं तोड़ा जा सकता। केवल \( (x^2-4)(x^2+4)\) तक रुकना आंशिक गुणनखंडन है। विकल्प C में 4 और 16 का गलत उपयोग है तथा D का विस्तार मूल बहुपद नहीं देता। इसलिए दिया गया उत्तर सही है।
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