Which is the correct factorisation of (x^2+2xy+y^2-9z^2)?(x^2+2xy+y^2-9z^2) का सही गुणनखंड कौन सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( (x+y-3z)(x+y+3z) )( (x+y-3z)(x+y+3z) )
The first three terms form a perfect square because they match the identity \(u^2+2uv+v^2=(u+v)^2\). Taking \(u=x\) and \(v=y\), we get \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\). The remaining term is \(9z^2=(3z)^2\), so the whole expression becomes the difference of the squares \((x+y)^2-(3z)^2\). The correct method is therefore to identify the perfect square first and then use the difference-of-squares identity.
Using \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), we obtain \((x+y-3z)(x+y+3z)\), which is option B. Expanding confirms it: the product gives \((x+y)^2-9z^2\), and then \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\). Option A uses \(x-y\), which would change the sign of the middle term. Options C and D do not produce the required terms, so they cannot be correct.पहले तीन पद पूर्ण वर्ग बनाते हैं, क्योंकि वे पहचान \(u^2+2uv+v^2=(u+v)^2\) के रूप में हैं। यहाँ \(u=x\) और \(v=y\) लेने पर \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\) प्राप्त होता है। शेष पद \(9z^2=(3z)^2\) है। इसलिए पूरा व्यंजक दो वर्गों के अंतर, अर्थात \((x+y)^2-(3z)^2\), के रूप में बदल जाता है। पहले पूर्ण वर्ग पहचानना और फिर वर्गों के अंतर की पहचान लगाना सही प्रक्रिया है।
अब \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) लगाने पर \((x+y-3z)(x+y+3z)\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। गुणा करके जाँचने पर \((x+y)^2-9z^2\) मिलता है, जो फिर \(x^2+2xy+y^2-9z^2\) बनता है। विकल्प A में \(x-y\) होने से मध्य पद का चिह्न बदल जाएगा। विकल्प C और D आवश्यक पदों का सही विस्तार नहीं देते।
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