Which of the following expressions is a difference of two cubes and can be factorised using the relevant identity?निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक दो घनों का अंतर है और संबंधित सर्वसमिका का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x³ − 8y³x³ − 8y³
Correct answer: A, x³ − 8y³. A difference of cubes has the form a³ − b³. Rewrite 8y³ as (2y)³. Thus x³ − 8y³ = x³ − (2y)³, where a = x and b = 2y. Using a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), the factorisation is (x − 2y)(x² + 2xy + 4y²). Option A has exactly the required subtraction and both terms are perfect cubes. Option B is a sum of cubes, not a difference; it would use a³ + b³. Option C contains squares, not cubes, and belongs to the difference-of-squares pattern. Option D has 4y³, but 4 is not a perfect cube, so it is not immediately a difference of two cubes in the required form. Memory cue: first check the sign, then check whether each coefficient is a perfect cube.सही उत्तर A है: x³ − 8y³। दो घनों का अंतर a³ − b³ के रूप में होता है। यहाँ 8y³ को (2y)³ लिखा जा सकता है। इसलिए x³ − 8y³ = x³ − (2y)³, जहाँ a = x और b = 2y। सर्वसमिका a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) लगाने पर गुणनखंड (x − 2y)(x² + 2xy + 4y²) मिलते हैं। विकल्प A में ऋण का चिन्ह है और दोनों पद पूर्ण घन हैं। विकल्प B घनों का योग है, अंतर नहीं; उस पर a³ + b³ का सूत्र लगेगा। विकल्प C में घात 2 है, इसलिए वह घनों का नहीं बल्कि वर्गों का अंतर है। विकल्प D में 4y³ है और 4 पूर्ण घन गुणांक नहीं है, इसलिए यह दिए गए रूप में दो घनों का अंतर नहीं बनता। याद रखें: पहले चिन्ह देखें, फिर गुणांकों के पूर्ण घन होने की जाँच करें।
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