Which of the following expressions is a perfect-square trinomial that can be written as the product of two identical binomial factors?निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, जिसे दो समान द्विपद गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x^2+10x+25\)\(x^2+10x+25\)
The direct answer is A: \(x^2+10x+25=(x+5)^2=(x+5)(x+5)\). Use the identity \(u^2+2uv+v^2=(u+v)^2\). Here, \(u=x\) and \(v=5\), so the first term is \(x^2\), the last term is \(5^2=25\), and the middle term is \(2(x)(5)=10x\). All three parts match exactly. In B, the last term is 20 rather than 25, so it is not this perfect square. C is a difference of squares, not a trinomial or a square of one binomial. D has the correct-looking first and last terms, but its middle term should be 10x, not 5x. A common confusion is checking only the first and last terms; the middle term must also equal twice the product of the square roots.सीधा उत्तर A है: \(x^2+10x+25=(x+5)^2=(x+5)(x+5)\)। पहचान \(u^2+2uv+v^2=(u+v)^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(u=x\) और \(v=5\) हैं। इसलिए पहला पद \(x^2\), अंतिम पद \(5^2=25\), और मध्य पद \(2 imes x imes5=10x\) होना चाहिए। तीनों पद ठीक-ठीक मिलते हैं। B में अंतिम पद 20 है, जबकि 5 का वर्ग 25 होता है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। C दो वर्गों का अंतर है और त्रिपद भी नहीं है। D में पहला और अंतिम पद सही जैसे दिखते हैं, लेकिन मध्य पद 10x होना चाहिए, 5x नहीं। सामान्य भूल यह है कि विद्यार्थी केवल पहले और अंतिम पद जाँचते हैं; वास्तव में मध्य पद भी दोनों वर्गमूलों के गुणनफल का दोगुना होना चाहिए। यही पूर्ण वर्ग त्रिपद की निर्णायक जाँच है।
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