Which of the following quadratic trinomials can be factorised as a product of two linear binomials with integer coefficients?निम्नलिखित में से किस द्विघात त्रिपद को पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक द्विपदों के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(6x^2+11x+3\)\(6x^2+11x+3\)
The direct answer is A: \(6x^2+11x+3=(3x+1)(2x+3)\). To use middle-term splitting, multiply the leading and constant coefficients: \(6\times3=18\). We need two integers whose product is 18 and whose sum is 11; they are 9 and 2. Split the middle term: \(6x^2+9x+2x+3\). Grouping gives \(3x(2x+3)+1(2x+3)=(3x+1)(2x+3)\). Checking the other choices by possible factor pairs of 18 shows no pair produces the required middle coefficient 10, 9, or 8 together with the necessary grouping into integer binomials. The important procedure is: calculate \(ac\), find a pair with sum \(b\), split the middle term, and factor by grouping. Always expand the final answer to verify it.सीधा उत्तर A है: \(6x^2+11x+3=(3x+1)(2x+3)\)। मध्य पद विभाजन के लिए पहले अग्रणी और स्थिर गुणांकों का गुणन करें: \(6\times3=18\)। अब ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 18 और योग 11 हो; वे 9 और 2 हैं। इसलिए मध्य पद को इस प्रकार लिखें: \(6x^2+9x+2x+3\)। समूह बनाने पर \(3x(2x+3)+1(2x+3)\) मिलता है, अतः गुणनखंड \((3x+1)(2x+3)\) हैं। अन्य विकल्पों में 18 के गुणनखंड-युग्म लेने पर आवश्यक मध्य गुणांक 10, 9 या 8 के साथ समान द्विपद नहीं बनते। याद रखने की विधि है: पहले \(ac\) निकालें, फिर ऐसे दो पद खोजें जिनका गुणनफल \(ac\) और योग \(b\) हो, मध्य पद बाँटें और समूह बनाकर गुणनखंड करें। अंत में विस्तार करके जाँच अवश्य करें।
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