Which of the following quadratic trinomials cannot be factorised into two linear factors with integer coefficients?निम्नलिखित में से किस द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक गुणनखंडों में नहीं किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x^2+5x+7\)\(x^2+5x+7\)
The direct answer is D: \(x^2+5x+7\) cannot be factorised into two linear factors with integer coefficients. For a monic trinomial \(x^2+bx+c\), we need two integers whose product is \(c\) and whose sum is \(b\). For D, the factor pairs of 7 are 1 and 7, or their negative versions. Their positive sum is 8, not 5, so no suitable integer pair exists. The other options work: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\), and \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\). Thus D is the only choice that fails both required conditions. A useful warning is that a quadratic may still factorise over non-integer or irrational numbers; the question specifically restricts the factors to integer coefficients.सीधा उत्तर D है: \(x^2+5x+7\) को पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक गुणनखंडों में नहीं तोड़ा जा सकता। \(x^2+bx+c\) जैसे एकात्मक त्रिपद के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल \(c\) और योग \(b\) हो। D में दो संख्याओं का गुणनफल 7 होना चाहिए। 7 के धनात्मक गुणनखंड 1 और 7 हैं, जिनका योग 8 है, 5 नहीं। ऋणात्मक जोड़ी का योग भी 5 नहीं देगी। इसलिए D के लिए उपयुक्त पूर्णांक नहीं मिलते। बाकी विकल्पों का गुणनखंडन संभव है: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\), और \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)। ध्यान रखें कि पूर्णांक गुणनखंड न मिलने का अर्थ यह नहीं कि किसी अन्य संख्या-पद्धति में गुणनखंडन असंभव है; यहाँ शर्त केवल पूर्णांक गुणांकों की है।
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