Which of the following trinomials can be factorised as the product of two identical binomials?निम्नलिखित में से किस त्रिपद का गुणनखंडन दो समान द्विपदों के गुणनफल के रूप में किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x^2+14x+49\)\(x^2+14x+49\)
The direct answer is A: \(x^2+14x+49=(x+7)^2\). A repeated-binomial factorisation has the form \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\) or \((x-r)^2=x^2-2rx+r^2\). In A, the first term is \(x^2\), the constant term is \(7^2=49\), and twice the corresponding number is \(2(7)=14\), exactly the middle coefficient. Option B has the correct first two terms but 48 is not \(7^2\), so it is not a perfect square. C has constant 49 but the middle coefficient should be 14, not 7. D has a negative middle term but a negative constant term; a square of a real binomial has a non-negative squared constant part in this pattern, and \((x-7)^2=x^2-14x+49\), not D. Another quick test for \(ax^2+bx+c\) is \(b^2=4ac\) when it is a perfect-square trinomial; for A, \(14^2=4(1)(49)=196\).सीधा उत्तर A है: \(x^2+14x+49=(x+7)^2\)। समान द्विपदों का वर्ग \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\) या \((x-r)^2=x^2-2rx+r^2\) के रूप में होता है। A में पहला पद \(x^2\), अंतिम पद \(49=7^2\), और मध्य पद \(2(7)x=14x\) है। इसलिए यह \((x+7)^2\) है। B में पहला और मध्य पद ठीक हैं, लेकिन 48, 7 का वर्ग नहीं है; इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता। C में अंतिम पद 49 तो है, पर मध्य गुणांक 7 होना चाहिए था 14 नहीं। D में मध्य पद ऋणात्मक है, लेकिन अंतिम पद भी ऋणात्मक है; जबकि \((x-7)^2=x^2-14x+49\) होता है, \(-49\) नहीं। वैकल्पिक जाँच के लिए \(ax^2+bx+c\) में पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए \(b^2=4ac\) देखें। A में \(14^2=4(1)(49)=196\), इसलिए शर्त पूरी होती है।
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