Choose the complete factorisation of \(3x^2y-12xy+12y\).\(3x^2y-12xy+12y\) का पूर्ण गुणनखंडन चुनिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(3y(x-2)^2\)\(3y(x-2)^2\)
The direct answer is A: \(3x^2y-12xy+12y=3y(x-2)^2\). First identify the common factor in all three terms. Each term contains \(3y\), so taking it outside gives \(3y(x^2-4x+4)\). The remaining trinomial is a perfect square because \(x^2-4x+4=x^2-2(x)(2)+2^2=(x-2)^2\). Hence the complete factorisation is \(3y(x-2)^2\). Option B would expand to \(3y(x^2+4x+4)\), giving a positive middle term, so its sign is wrong. Option C does not preserve the terms correctly: expanding it gives \(3x^2y-12xy\) and loses the constant term \(12y\). Option D stops before completing the factorisation; its inner trinomial is still factorisable. The important habit is to continue after taking out a common factor and check whether what remains matches an identity.सीधा उत्तर A है: \(3x^2y-12xy+12y=3y(x-2)^2\)। पहले तीनों पदों में समान गुणनखंड पहचानें। प्रत्येक पद में \(3y\) है, इसलिए इसे बाहर निकालने पर \(3y(x^2-4x+4)\) मिलता है। अब अंदर का त्रिपद पूर्ण वर्ग है: \(x^2-4x+4=x^2-2(x)(2)+2^2=(x-2)^2\)। इसलिए पूर्ण गुणनखंडन \(3y(x-2)^2\) है। B का प्रसार \(3y(x^2+4x+4)\) होगा, जिसमें मध्य पद धनात्मक है; मूल व्यंजक में वह ऋणात्मक है। C का प्रसार करने पर केवल पहले दो प्रकार के पद मिलते हैं और \(12y\) वाला पद गायब हो जाता है। D में समान गुणनखंड तो निकाला गया है, लेकिन अंदर का त्रिपद अभी भी \((x-2)^2\) में टूट सकता है, इसलिए वह पूर्ण गुणनखंडन नहीं है। याद रखें: समान गुणनखंड निकालने के बाद बचे हुए व्यंजक को भी पहचान-सूत्र से आगे तोड़ें।
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