Which quadratic expression cannot be factorised into two linear factors with integer coefficients?निम्नलिखित में से किस द्विघात व्यंजक का पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडन नहीं किया जा सकता?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x² + x − 1x² + x − 1
The correct answer is D: x² + x − 1. For a quadratic ax² + bx + c, the discriminant is Δ = b² − 4ac. If the expression factors into linear factors with integer coefficients, its discriminant must be a perfect square. For D, Δ = 1² − 4(1)(−1) = 5, and 5 is not a perfect square; hence integer-coefficient linear factorisation is impossible. Option A factors as (x + 2)(x + 3). Option B is (x − 3)(x + 3). Option C is (x + 1)². Thus A, B, and C all factorise over the integers. Memory cue: a non-square discriminant rules out integer linear factors, although other forms of roots may still exist.सही उत्तर D है: x² + x − 1। द्विघात ax² + bx + c का विविक्तकर Δ = b² − 4ac होता है। यदि वह पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक गुणनखंडों में टूटता है, तो उसका विविक्तकर पूर्ण वर्ग होना चाहिए। D के लिए Δ = 1² − 4(1)(−1) = 5 है और 5 पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए इसका पूर्णांक गुणांकों वाले रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडन संभव नहीं है। विकल्प A = (x + 2)(x + 3), B = (x − 3)(x + 3), और C = (x + 1)² है। इसलिए ये तीनों पूर्णांकों में गुणनखंडित हो जाते हैं। याद रखें: विविक्तकर पूर्ण वर्ग न हो तो ऐसे रैखिक पूर्णांक गुणनखंड नहीं मिलेंगे; इसका अर्थ यह नहीं कि व्यंजक का कोई अन्य बीजीय रूप नहीं हो सकता।
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