Which expression has x − 2y as a factor in its complete factorisation?निम्नलिखित में से किस व्यंजक के पूर्ण गुणनखंडन में x − 2y एक गुणनखंड होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x³ − 8y³x³ − 8y³
The correct answer is A: x³ − 8y³. Recognise 8y³ as (2y)³. Thus x³ − 8y³ = x³ − (2y)³. The difference-of-cubes identity is U³ − V³ = (U − V)(U² + UV + V²). Using U = x and V = 2y gives (x − 2y)(x² + 2xy + 4y²), so x − 2y is a factor. Option B is a sum of cubes and contains x + 2y, not x − 2y. Option C is not a difference of cubes. Option D is the second factor produced after factoring A, but it does not itself contain x − 2y as a factor over the usual polynomial factors. Memory cue: for a difference of cubes, the first factor keeps the same minus sign.सही उत्तर A है: x³ − 8y³। ध्यान दें कि 8y³ = (2y)³ है। इसलिए x³ − 8y³ = x³ − (2y)³। घनों के अंतर की सर्वसमिका U³ − V³ = (U − V)(U² + UV + V²) होती है। U = x और V = 2y रखने पर x³ − 8y³ = (x − 2y)(x² + 2xy + 4y²) मिलता है। अतः x − 2y इसका गुणनखंड है। विकल्प B घनों का योग है और उसमें x + 2y आता है, x − 2y नहीं। विकल्प C घनों के अंतर का रूप नहीं है। विकल्प D वह दूसरा गुणनखंड है जो A को तोड़ने पर मिलता है, पर उसमें x − 2y गुणनखंड नहीं है। याद रखें: घनों के अंतर में पहला द्विपद मूल ऋण चिह्न को बनाए रखता है।
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