Which expression is a perfect cube of a binomial and can therefore be factorised using a cube identity?निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक एक द्विपद का पूर्ण घन है और इसलिए घन सर्वसमिका से गुणनखंडित किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\)\(8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\)
The correct answer is A. Use \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\). The first term \(8x^3\) is \((2x)^3\), and the last term \(-27y^3
a\) is \(-(3y)^3\). Put \(a=2x\) and \(b=3y\): \(-3a^2b=-3(4x^2)(3y)=-36x^2y\), while \(3ab^2=3(2x)(9y^2)=54xy^2\). Hence option A is \((2x-3y)^3\). Option B has the wrong sign for the second term, so it does not match either simple cube pattern. Option C has the wrong sign on the final term. Option D has incorrect coefficients in both middle terms. A useful check is that the coefficients 1, 3, 3, 1 appear with signs determined by the binomial. Memory cue: for \((a-b)^3\), the signs are minus, plus, minus after the first term.सही उत्तर A है। सर्वसमिका \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) का प्रयोग करें। पहला पद \(8x^3=(2x)^3\) है और अंतिम पद \(-27y^3=-(3y)^3\) है। अब \(a=2x\), \(b=3y\) रखने पर \(-3a^2b=-3(4x^2)(3y)=-36x^2y\) तथा \(3ab^2=3(2x)(9y^2)=54xy^2\) मिलता है। इसलिए विकल्प A वास्तव में \((2x-3y)^3\) है। विकल्प B में दूसरे पद का चिन्ह गलत है, इसलिए वह इस घन-विस्तार से मेल नहीं खाता। विकल्प C में अंतिम पद का चिन्ह गलत है। विकल्प D में दोनों मध्य पदों के गुणांक गलत हैं। घन सर्वसमिका में गुणांकों का क्रम \(1,3,3,1\) रहता है और चिन्ह द्विपद के चिन्हों के अनुसार आते हैं। याद रखें: \((a-b)^3\) में पहले पद के बाद चिन्हों का क्रम ऋण, धन, ऋण होता है। पहले और अंतिम पद से \(a\) तथा \(b\) पहचानना जाँच को सरल बनाता है।
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