What is the complete factorisation of \(x^3+3x^2+2x\)?\(x^3+3x^2+2x\) का पूर्ण गुणनखंडन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x(x+1)(x+2)\)\(x(x+1)(x+2)\)
The correct answer is B: \(x(x+1)(x+2)\). First identify the common factor in all three terms: \(x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)\). Now factor the quadratic trinomial. We need two numbers whose product is \(2\) and whose sum is \(3\); they are \(1\) and \(2\). Therefore \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), giving \(x(x+1)(x+2)\). Option A would produce \(x(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x\). Option C would produce \(x^3+4x^2+3x\). Option D takes out only part of the common factor and expands to \(x^3+3x^2\), missing \(2x\). ‘Complete’ means continue factoring until no factor can be split further over the intended integers. Memory cue: take out the common factor first, then factor the remaining quadratic by product and sum.सही उत्तर B है: \(x(x+1)(x+2)\)। पहले देखें कि तीनों पदों में \(x\) समान गुणनखंड है: \(x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)\)। अब शेष द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन करें। ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल \(2\) और योग \(3\) हो; वे \(1\) और \(2\) हैं। इसलिए \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), और पूरा गुणनखंडन \(x(x+1)(x+2)\) होगा। विकल्प A का विस्तार \(x^3+5x^2+6x\) होता है, इसलिए वह गलत है। विकल्प C से \(x^3+4x^2+3x\) मिलता है। विकल्प D में केवल \(x^2(x+3)=x^3+3x^2\) है और \(2x\) पद गायब हो जाता है। ‘पूर्ण गुणनखंडन’ का अर्थ है कि समान गुणनखंड निकालने के बाद बचे त्रिपद को भी आगे पूरी तरह तोड़ा जाए। याद रखें: पहले सामान्य गुणनखंड, फिर गुणनफल और योग की जाँच।
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