Which of the following trinomials is a perfect-square expression?निम्नलिखित में से कौन-सा त्रिपद एक पूर्ण वर्ग व्यंजक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(9p^2-24pq+16q^2\)\(9p^2-24pq+16q^2\)
The correct answer is A. A trinomial is a perfect square when it has the form \(u^2\pm2uv+v^2=(u\pm v)^2\). In option A, the first term is \((3p)^2\) and the last term is \((4q)^2\). Twice their product is \(2(3p)(4q)=24pq\), and the middle term is \(-24pq\). Hence \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\). Option B has the same first and last terms, but its middle term is \(-20pq\), not \(-24pq\). Option C has an incorrect last term and also a positive middle term. Option D has a negative final square term, so it cannot match the standard square identity over the usual school algebra setting. The safest method is to take square roots of the first and last terms and compare twice their product with the middle term. A minus middle term means the binomial uses subtraction.सही उत्तर A है। कोई त्रिपद तभी पूर्ण वर्ग होता है जब वह \(u^2\pm2uv+v^2=(u\pm v)^2\) के रूप में लिखा जा सके। विकल्प A में पहला पद \((3p)^2\) और अंतिम पद \((4q)^2\) है। इनके वर्गमूलों का दोगुना गुणनफल \(2(3p)(4q)=24pq\) होता है, और मध्य पद \(-24pq\) है। इसलिए \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\)। विकल्प B में पहला और अंतिम पद सही हैं, लेकिन मध्य पद \(-20pq\) है, जो आवश्यक \(-24pq\) नहीं है। विकल्प C में अंतिम पद \(8q^2\) है, जो \((4q)^2\) नहीं है, और मध्य पद का चिन्ह भी अलग है। विकल्प D में अंतिम वर्ग पद ऋणात्मक है, इसलिए वह इस मानक पूर्ण-वर्ग रूप से मेल नहीं खाता। जाँचने की सरल विधि है: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लें, उनके दोगुने गुणनफल की तुलना मध्य पद से करें। मध्य पद ऋणात्मक हो तो कोष्ठक में घटाव होगा।
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