What will be the complete factorisation of \(x^4-81\)?\(x^4-81\) का पूर्ण गुणनखंडन क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((x-3)(x+3)(x^2+9)\)\((x-3)(x+3)(x^2+9)\)
Answer: C. Begin with the difference of squares: \(x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2-9)(x^2+9)\). The factor \(x^2-9\) is itself another difference of squares: \(x^2-3^2=(x-3)(x+3)\). Therefore the complete factorisation is \((x-3)(x+3)(x^2+9)\). Option A is only an intermediate factorisation, not complete, because \(x^2-9\) can still be factored. Option B incorrectly uses \(x^2-81=(x-9)(x+9)\), which is not the factor present. Option D gives \((x^2-9)^2\), which expands to \(x^4-18x^2+81\), not the original expression. Memory cue: for a difference of squares, factor it repeatedly until no factor has the same pattern.उत्तर: C। पहले वर्गों के अंतर का सूत्र लगाएँ: \(x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2-9)(x^2+9)\)। अब \(x^2-9=x^2-3^2\) भी वर्गों का अंतर है, इसलिए \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)। अतः पूर्ण गुणनखंडन \((x-3)(x+3)(x^2+9)\) है। विकल्प A केवल पहला चरण है; उसमें \(x^2-9\) को अभी और तोड़ा जा सकता है, इसलिए वह पूर्ण नहीं है। विकल्प B में गलती से \(x^2-81\) को \((x-9)(x+9)\) माना गया है, जबकि यहाँ पद \(x^2-9\) है। विकल्प D का विस्तार \(x^4-18x^2+81\) देता है, जो मूल व्यंजक नहीं है। याद रखें: वर्गों के अंतर की पहचान बार-बार जाँचें और तब रुकें जब आगे गुणनखंडन संभव न हो।
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