A student factorises \(49a^2-70ab+25b^2\) as \((7a-5b)(7a+5b)\). Which statement about the student’s solution is correct?एक विद्यार्थी ने \(49a^2-70ab+25b^2\) का गुणनखंडन \((7a-5b)(7a+5b)\) लिखा है। उसके समाधान के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The correct factorisation is \((7a-5b)^2\).सही गुणनखंडन \((7a-5b)^2\) है।
Answer: A. The given expression has the pattern \(u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\), with \(u=7a\) and \(v=5b\). Thus it is \((7a-5b)^2\). Expanding confirms this: \((7a-5b)^2=49a^2-70ab+25b^2\). The student’s product \((7a-5b)(7a+5b)\) uses the difference-of-squares identity and expands to \(49a^2-25b^2\); its middle terms cancel, so it cannot represent the given trinomial. Option B would produce a positive middle term, \(+70ab\). Option C is false because A provides a factorisation. Option D expands to \(49a^2-49ab+25b^2\), not the original expression. Always verify the middle term.उत्तर: A। दिए गए व्यंजक का रूप \(u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\) है, जहाँ \(u=7a\) और \(v=5b\)। इसलिए सही गुणनखंडन \((7a-5b)^2\) है। विस्तार करने पर भी \((7a-5b)^2=49a^2-70ab+25b^2\) मिलता है। विद्यार्थी द्वारा लिखा गया \((7a-5b)(7a+5b)\) वर्गों के अंतर का सूत्र है और इससे \(49a^2-25b^2\) मिलता है; उसके मध्य पद आपस में कट जाते हैं, इसलिए वह दिए गए त्रिपद के बराबर नहीं है। विकल्प B से मध्य पद \(+70ab\) आएगा, जो गलत चिन्ह है। विकल्प C गलत है क्योंकि A में गुणनखंडन उपलब्ध है। विकल्प D को फैलाने पर \(49a^2-49ab+25b^2\) मिलता है, मूल व्यंजक नहीं। हर गुणनखंडन में मध्य पद की जाँच करना आवश्यक है।
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