A student claims that \(49x^2−25y^2\) factorises as \((7x−5y)^2\). What is the error in the claim?एक विद्यार्थी का दावा है कि 49x²−25y² का गुणनखंड (7x−5y)² है। उसके दावे में क्या त्रुटि है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((7x−5y)^2\) contains the middle term \(−70xy\), whereas the given expression has no middle term.\((7x−5y)^2\) contains the middle term \(−70xy\), whereas the given expression has no middle term.
Direct answer: A. The expression is a difference of squares: 49x²−25y²=(7x)²−(5y)². Therefore use u²−v²=(u−v)(u+v), giving (7x−5y)(7x+5y). The student incorrectly used the square-of-a-difference identity. Indeed, (7x−5y)²=(7x)²−2(7x)(5y)+(5y)²=49x²−70xy+25y². It has a middle term and a positive last term, neither of which occurs in the given expression. Option B is false because 49 and 25 are perfect squares. Option C is false because the expression has the factorisation just shown. Option D is false for the same expansion reason. Memory cue: (u−v)² has three terms, but u²−v² has two conjugate factors and no middle term.सीधा उत्तर: विकल्प A। दिया गया व्यंजक दो वर्गों का अंतर है: 49x²−25y²=(7x)²−(5y)²। इसलिए पहचान u²−v²=(u−v)(u+v) लगाने पर गुणनखंड (7x−5y)(7x+5y) होंगे। विद्यार्थी ने गलती से वर्ग के अंतर की पहचान (u−v)² लगा दी। वास्तव में (7x−5y)²=(7x)²−2(7x)(5y)+(5y)²=49x²−70xy+25y² होता है। इसमें −70xy मध्य पद और +25y² अंतिम पद आता है, जबकि दिए गए व्यंजक में मध्य पद नहीं है और अंतिम पद ऋणात्मक है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 49 और 25 दोनों पूर्ण वर्ग हैं। विकल्प C गलत है, क्योंकि सही गुणनखंडन संभव है। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि उसका विस्तार अलग परिणाम देता है। याद रखें: (u−v)² में तीन पद होते हैं, जबकि u²−v² में संयुग्मी गुणनखंड होते हैं।
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