Which is the correct factorisation of \(125x^3 − 216y^3\)?\(125x^3 − 216y^3\) का सही गुणनखंड कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (5x − 6y)(25x^2 + 30xy + 36y^2)(5x − 6y)(25x^2 + 30xy + 36y^2)
The direct answer is A. First recognise that \(125x^3=(5x)^3\) and \(216y^3=(6y)^3\). The expression is therefore a difference of cubes, \(u^3−v^3\), where \(u=5x\) and \(v=6y\). The identity is \(u^3−v^3=(u−v)(u^2+uv+v^2)\). Substituting gives \((5x−6y)[(5x)^2+(5x)(6y)+(6y)^2]=(5x−6y)(25x^2+30xy+36y^2)\). Thus A reproduces the original expression when expanded. B uses the sum factor and is the identity for a sum of cubes, not this difference. C has the wrong negative sign in the middle term; expanding it does not cancel correctly. D does not take the cube roots as the first factor and its second factor is incomplete, so it cannot produce the required cubic expression. Memory cue: for a difference of cubes, the signs are minus in the first factor and plus, plus in the second factor.सीधा उत्तर विकल्प A है। पहले \(125x^3=(5x)^3\) और \(216y^3=(6y)^3\) पहचानिए। इसलिए दिया गया व्यंजक \(u^3−v^3\) के रूप में है, जहाँ \(u=5x\) और \(v=6y\)। घनों के अंतर का सूत्र है \(u^3−v^3=(u−v)(u^2+uv+v^2)\)। मान रखने पर \((5x−6y)[(5x)^2+(5x)(6y)+(6y)^2]=(5x−6y)(25x^2+30xy+36y^2)\) मिलता है। अतः A सही है और उसे फैलाने पर मूल व्यंजक वापस मिलता है। B में पहला गुणनखंड धनात्मक है; यह घनों के योग वाले सूत्र से जुड़ा है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। C में दूसरे कोष्ठक के मध्य पद का चिन्ह गलत है और प्रसार करने पर मूल पद नहीं मिलते। D में घनमूल वाला पहला गुणनखंड नहीं है और दूसरा गुणनखंड भी उपयुक्त नहीं है। याद रखें: घनों के अंतर में पहले कोष्ठक में ऋण और दूसरे में दोनों धन चिन्ह आते हैं।
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