Which is the correct factorisation of b³ − 27?b³ − 27 का सही गुणनखंड कौन सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (b − 3)(b² + 3b + 9)(b − 3)(b² + 3b + 9)
The direct answer is A: (b − 3)(b² + 3b + 9). Since 27 = 3³, the expression is b³ − 3³, a difference of cubes. Apply u³ − v³ = (u − v)(u² + uv + v²), with u = b and v = 3. This gives (b − 3)(b² + 3b + 9). Expanding confirms it: b(b² + 3b + 9) − 3(b² + 3b + 9) = b³ + 3b² + 9b − 3b² − 9b − 27 = b³ − 27. Option B is the sum-of-cubes pattern and would begin with b³ + 27, not b³ − 27. Option C incorrectly uses 9 instead of the cube root 3; 9³ is not 27. Option D has the correct first factor but wrong signs in the quadratic factor, so its expansion contains an unwanted −6b term. Memory cue: in u³ − v³, the first bracket has a minus, while all three terms of the second bracket are positive.सीधा उत्तर विकल्प A है: (b − 3)(b² + 3b + 9)। क्योंकि 27 = 3³, दिया हुआ व्यंजक b³ − 3³ अर्थात घनों का अंतर है। सूत्र u³ − v³ = (u − v)(u² + uv + v²) में u = b और v = 3 रखने पर (b − 3)(b² + 3b + 9) प्राप्त होता है। विस्तार करके जाँचें: b(b² + 3b + 9) − 3(b² + 3b + 9) = b³ + 3b² + 9b − 3b² − 9b − 27 = b³ − 27। विकल्प B घनों के योग का रूप है और उससे b³ + 27 बनता। विकल्प C में 3 के स्थान पर 9 लिया गया है, जबकि 9³, 27 नहीं होता। विकल्प D में पहला कोष्ठक तो सही है, पर दूसरे कोष्ठक के चिह्न गलत हैं; विस्तार करने पर अतिरिक्त −6b पद आ जाएगा। याद रखें: घनों के अंतर में पहले कोष्ठक में ऋण चिह्न होता है, जबकि दूसरे कोष्ठक के तीनों पद धनात्मक होते हैं।
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