What is the factorised form of a³ + 64?a³ + 64 का गुणनखंड रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (a + 4)(a² − 4a + 16)(a + 4)(a² − 4a + 16)
The direct answer is A: (a + 4)(a² − 4a + 16). Since 64 = 4³, the expression is a³ + 4³, a sum of cubes. Use the identity u³ + v³ = (u + v)(u² − uv + v²). Taking u = a and v = 4 gives a³ + 4³ = (a + 4)(a² − 4a + 16). To verify, multiply: a(a² − 4a + 16) + 4(a² − 4a + 16) = a³ − 4a² + 16a + 4a² − 16a + 64 = a³ + 64. Option B is the difference-of-cubes pattern and would represent a³ − 64. Option C has the wrong signs in the second bracket; its expansion contains extra terms rather than cancelling them. Option D uses 8, but 8³ is 512, not 64, so it does not match the expression. Memory cue: for a sum of cubes, the signs are plus in the first bracket, then minus and plus in the second bracket.सीधा उत्तर विकल्प A है: (a + 4)(a² − 4a + 16)। क्योंकि 64 = 4³, दिया हुआ व्यंजक a³ + 4³ अर्थात घनों का योग है। सूत्र u³ + v³ = (u + v)(u² − uv + v²) में u = a और v = 4 रखने पर (a + 4)(a² − 4a + 16) मिलता है। जाँच के लिए गुणा करें: a(a² − 4a + 16) + 4(a² − 4a + 16) = a³ − 4a² + 16a + 4a² − 16a + 64 = a³ + 64। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B घनों के अंतर का रूप है और a³ − 64 से संबंधित होता। विकल्प C में दूसरे कोष्ठक के चिह्न गलत हैं; आवश्यक मिश्रित पदों का सही निरसन नहीं होगा। विकल्प D में 8 लिया गया है, लेकिन 8³ = 512 होता है, 64 नहीं। याद रखें: घनों के योग में पहले कोष्ठक के बीच धन चिह्न होता है और दूसरे कोष्ठक में चिह्नों का क्रम ऋण, धन होता है: u³ + v³ = (u + v)(u² − uv + v²)।
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