A student claims that 49p² − 70pq + 25q² = (7p − 5q)(7p + 5q). What is the error in the factorisation?एक विद्यार्थी ने दावा किया कि 49p² − 70pq + 25q² = (7p − 5q)(7p + 5q) है। उसके गुणनखंडन में त्रुटि कहाँ है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It is a perfect-square trinomial; the correct factorisation is (7p − 5q)².It is a perfect-square trinomial; the correct factorisation is (7p − 5q)².
The direct answer is A. Start with the identity (a − b)² = a² − 2ab + b². Here a = 7p and b = 5q. Therefore, (7p − 5q)² = (7p)² − 2(7p)(5q) + (5q)² = 49p² − 70pq + 25q², exactly the given trinomial. The student incorrectly used the difference-of-squares pattern (a − b)(a + b). Expanding that product gives a² − b², because the two cross terms cancel: (7p − 5q)(7p + 5q) = 49p² − 25q². It has no middle term, so it cannot equal the given expression. Option B is wrong because the proposed product omits −70pq. Option C changes the sign of the middle term; (7p + 5q)² would contain +70pq. Option D is wrong because 25q² is already a square, namely (5q)². Memory cue: in a perfect square trinomial, the middle term is ±2 times the two square roots.सीधा उत्तर विकल्प A है। सूत्र (a − b)² = a² − 2ab + b² का प्रयोग करें। यहाँ a = 7p और b = 5q हैं। इसलिए (7p − 5q)² = (7p)² − 2(7p)(5q) + (5q)² = 49p² − 70pq + 25q², जो दिया हुआ त्रिपद है। विद्यार्थी ने गलती से वर्गों के अंतर का सूत्र (a − b)(a + b) लगा दिया। इस गुणनफल को खोलने पर a² − b² मिलता है, क्योंकि दोनों मिश्रित पद आपस में कट जाते हैं: (7p − 5q)(7p + 5q) = 49p² − 25q²। इसमें −70pq वाला मध्य पद नहीं है, इसलिए यह मूल व्यंजक के बराबर नहीं हो सकता। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें मध्य पद गायब हो जाता है। विकल्प C में मध्य पद धनात्मक 70pq हो जाएगा, जबकि यहाँ −70pq है। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि 25q² = (5q)² पहले से पूर्ण वर्ग है। याद रखें: पूर्ण वर्ग त्रिपद में मध्य पद दो वर्गमूलों के गुणनफल का दोगुना होता है, और उसका चिह्न बीच के चिह्न के अनुसार होता है।
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