Which of the following expressions is a perfect-square trinomial and can be factorised as the product of two identical binomials?निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है और दो समान द्विपदों के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x² + 10x + 25x² + 10x + 25
Answer: A, because x² + 10x + 25 = (x+5)(x+5) = (x+5)². When two identical binomials are multiplied, (u+v)² gives u²+2uv+v². Taking u=x and v=5 produces x²+10x+25. B is not correct: changing 25 to 20 destroys the square pattern. C is not correct because the cross-term should be 10x, not 5x. D is not correct for this question because it has only two terms and lacks the cross-term; x²+25 is not generally equal to (x+5)². Notice that identical binomials may have either a plus or minus sign, but the corresponding middle term and constant must agree. A quick check is to take the square roots of the first and last terms and then calculate twice their product. This prevents confusing a sum of squares with a square of a sum.उत्तर: A, क्योंकि x² + 10x + 25 = (x+5)(x+5) = (x+5)²। जब दो समान द्विपदों को गुणा किया जाता है, तब (u+v)² = u² + 2uv + v² मिलता है। u=x और v=5 रखने पर x² + 10x + 25 प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 25 के स्थान पर 20 होने से पूर्ण वर्ग का ढाँचा टूट जाता है। विकल्प C में मध्य पद 5x है, जबकि आवश्यक क्रॉस-पद 2 × x × 5 = 10x है। विकल्प D में केवल दो पद हैं और बीच का पद अनुपस्थित है; x² + 25 सामान्यतः (x+5)² के बराबर नहीं होता। समान द्विपदों में जोड़ या घटाव दोनों हो सकते हैं, पर मध्य पद और अंतिम पद उसी के अनुसार होने चाहिए। जाँचने का सरल तरीका है: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लें तथा उनके दुगुने गुणनफल को मध्य पद से मिलाएँ। इससे ‘वर्गों का योग’ और ‘योग का वर्ग’ अलग-अलग समझ में आते हैं।
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