Under which condition will the quadratic expression \(x^2+bx+c\) be a perfect-square trinomial?किस शर्त के पूरा होने पर द्विघात व्यंजक \(x^2+bx+c\) एक पूर्ण वर्ग त्रिपद होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(b^2=4c\)\(b^2=4c\)
The direct answer is A: \(b^2=4c\). A monic perfect-square trinomial has the form \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\). Comparing coefficients with \(x^2+bx+c\), we get \(b=2r\) and \(c=r^2\). Squaring the first relation gives \(b^2=4r^2=4c\). Therefore the necessary condition is \(b^2=4c\), and when this holds, \(x^2+bx+c=(x+b/2)^2\). Option B incorrectly makes the middle coefficient directly equal to four times the constant. Option C misses the factor 4; for example, with \(r=1\), we have \(b=2,c=1\), so \(b^2=4\), not \(1\). Option D is unrelated to the perfect-square pattern. Memory cue: halve the middle coefficient and square it; that must equal the constant term.सीधा उत्तर A है: \(b^2=4c\)। पूर्ण वर्ग त्रिपद का सामान्य रूप \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\) होता है। इसे \(x^2+bx+c\) से मिलाने पर \(b=2r\) और \(c=r^2\) मिलता है। पहले संबंध का वर्ग करने पर \(b^2=4r^2=4c\) प्राप्त होता है। इसलिए आवश्यक शर्त \(b^2=4c\) है और ऐसी स्थिति में व्यंजक \((x+b/2)^2\) लिखा जा सकता है। B में मध्य गुणांक और स्थिर पद का गलत संबंध बनाया गया है। C में 4 का गुणक छूट गया है; जैसे \(r=1\) पर \(b=2,c=1\), इसलिए \(b^2=4\), न कि 1। D का पूर्ण वर्ग बनने की पहचान से कोई संबंध नहीं है। याद रखने का तरीका: मध्य गुणांक का आधा करें और उसका वर्ग स्थिर पद से मिलाएँ।
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