Which trinomial is the product of two identical linear factors?निम्नलिखित में से कौन-सा त्रिपद दो समान रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x^2-12x+36\)\(x^2-12x+36\)
The direct answer is A: \(x^2-12x+36=(x-6)^2=(x-6)(x-6)\). For two identical linear factors, the expression must be a perfect square. Comparing with \((x-k)^2=x^2-2kx+k^2\), the middle coefficient \(-12\, gives \(2k=12\), so \(k=6\). The constant term must then be \(6^2=36\), which matches A. B has the same first two terms but its constant term is 24, not 36, so it is not a perfect square. C has a positive middle term and a negative constant, so it cannot equal the square of a real linear binomial in this form. D is a difference of squares, \((x-6)(x+6)\), whose factors are different, not identical. A quick check is to take half the magnitude of the middle coefficient and square it.सीधा उत्तर A है: \(x^2-12x+36=(x-6)^2=(x-6)(x-6)\)। दो समान रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल किसी द्विपद का पूर्ण वर्ग होता है। \((x-k)^2=x^2-2kx+k^2\) से तुलना करें। मध्य गुणांक \(-12\) है, इसलिए \(2k=12 ext{ और }k=6\)। तब अंतिम पद \(k^2=36\) होना चाहिए, जो A में दिया है। B में पहले दो पद सही हैं, लेकिन स्थिर पद \(24\) है, \(36\) नहीं; इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। C में मध्य पद धनात्मक और अंतिम पद ऋणात्मक है, इसलिए वह इस प्रकार का पूर्ण वर्ग नहीं बन सकता। D दो वर्गों का अंतर है: \((x-6)(x+6)\), जिसके गुणनखंड समान नहीं हैं। तेज जाँच के लिए मध्य गुणांक के परिमाण का आधा लेकर उसका वर्ग करें; यहाँ \(12/2=6\) और \(6^2=36\) है।
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