Which trinomial is a perfect-square trinomial and can therefore be written as the product of two identical binomials?निम्नलिखित में से कौन-सा त्रिपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, इसलिए इसे दो समान द्विपदों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x^2+10x+25\)\(x^2+10x+25\)
The direct answer is A: \(x^2+10x+25=(x+5)^2\). A perfect-square trinomial has the form \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) or \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Here the first term is \(x^2\, so the first square root is \(x\), and the last term \(25\) has square root \(5\). Twice their product is \(2\cdot x\cdot5=10x\), exactly the middle term. B has the correct middle term but should have constant term \(25\), not \(20\). C has the correct first and last terms, but its middle term should be \(10x\), not \(5x\). D has a negative constant and cannot match this square form. The quick check is: halve the middle coefficient, square it, and compare with the constant term.सीधा उत्तर A है: \(x^2+10x+25=(x+5)^2\)। पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) या \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) होता है। यहाँ पहले पद \(x^2\) का वर्गमूल \(x\) और अंतिम पद \(25\) का वर्गमूल \(5\) है। इनका दुगुना गुणनफल \(2\cdot x\cdot5=10x\) है, जो ठीक मध्य पद है। B में मध्य पद सही है, लेकिन अंतिम पद \(20\) है; उसे \(25\) होना चाहिए। C में पहला और अंतिम पद सही हैं, पर मध्य पद \(5x\) के स्थान पर \(10x\) होना चाहिए। D में अंतिम पद ऋणात्मक है, इसलिए वह इस प्रकार का पूर्ण वर्ग नहीं बन सकता। तेज जाँच के लिए मध्य गुणांक का आधा लीजिए और उसका वर्ग कीजिए; यहाँ \(10/2=5\) और \(5^2=25\), इसलिए A सही है।
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