Which expression is a perfect-square trinomial and can be written as the product of two identical binomials?निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक पूर्ण वर्ग त्रिपद है और दो समान द्विपदों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x² + 10x + 25x² + 10x + 25
Answer: A, x² + 10x + 25. Use the identity x² + 2kx + k² = (x + k)². In option A, 10x = 2 × x × 5 and 25 = 5², so x² + 10x + 25 = (x + 5)² = (x + 5)(x + 5). Option B has the correct middle term for k = 5, but its constant term is 20 rather than 25, so it is not a perfect square. Option C has constant term 25, suggesting k = 5, but then the middle term should be 10x, not 5x. Option D has a negative middle term, but with constant 20 it still fails the condition; x² − 10x + 25 would be (x − 5)². The sign of the middle term tells whether the repeated binomial uses plus or minus, while its magnitude must match twice the square-root number. Memory cue: the last term is the square of half the middle coefficient.उत्तर: A, x² + 10x + 25। पहचान x² + 2kx + k² = (x + k)² का प्रयोग करें। A में 10x = 2 × x × 5 और 25 = 5² है। इसलिए x² + 10x + 25 = (x + 5)² = (x + 5)(x + 5)। B में मध्य पद तो 5 के लिए सही है, लेकिन स्थिर पद 20 है, 25 नहीं; इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं है। C में स्थिर पद 25 से k = 5 का संकेत मिलता है, पर तब मध्य पद 10x होना चाहिए, 5x नहीं। D में मध्य पद ऋणात्मक है, फिर भी स्थिर पद 20 होने के कारण शर्त पूरी नहीं होती; यदि अंतिम पद 25 होता, तो x² − 10x + 25 = (x − 5)² बनता। मध्य पद का चिन्ह द्विपद में जोड़ या घटाव बताता है, जबकि उसका गुणांक अंतिम पद के वर्गमूल के दुगुने के बराबर होना चाहिए। स्मरण सूत्र: मध्य गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग करें; वही स्थिर पद होना चाहिए।
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