A rectangle is divided into parts \(x^2\), \(5x\), \(7x\), and \(35\). What are the possible sides of the rectangle?एक आयत को \(x^2\), \(5x\), \(7x\), और \(35\) भागों में बाँटा गया है। आयत की संभावित भुजाएँ क्या हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((x+5)\) and \((x+7)\)\((x+5)\) और \((x+7)\)
The correct answer is B: the sides are \((x+5)\) and \((x+7)\). In the rectangle model, multiplying the side lengths gives the total area. Expand step by step: \((x+5)(x+7)=x^2+7x+5x+35=x^2+12x+35\). The two cross-rectangles would have areas \(7x\) and \(5x\), while the corner rectangle has area \(5\times7=35\). Thus the listed pieces are exactly \(x^2\), \(5x\), \(7x\), and \(35\), with no overlap or missing part. A has constants 12 and 35, giving the wrong cross terms and constant product. C would produce negative middle terms, not the positive \(5x\) and \(7x\) pieces. D has constant product 35 but its cross terms total \(36x\), so it also fails. Memory cue: for \(x^2+px+q\), find two numbers whose sum is \(p\) and product is \(q\).सही उत्तर B है: आयत की भुजाएँ \((x+5)\) और \((x+7)\) होंगी। आयत का कुल क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है। विस्तार करें: \((x+5)(x+7)=x^2+7x+5x+35=x^2+12x+35\)। दृश्य मॉडल में एक क्रॉस-आयत का क्षेत्रफल \(7x\), दूसरे का \(5x\), और कोने वाले छोटे आयत का क्षेत्रफल \(5\times7=35\) होगा; साथ में \(x\)-वाला वर्ग \(x^2\) देगा। इसलिए दिए गए चारों भाग ठीक-ठीक प्राप्त होते हैं। A में स्थिर संख्याएँ 12 और 35 लेने पर बीच के पद और स्थिर गुणनफल सही नहीं बैठते। C में \(x-5\) और \(x-7\) लेने से बीच के पद ऋणात्मक होंगे, जबकि प्रश्न में \(5x ext{ और }7x\) धनात्मक हैं। D में 1 और 35 का गुणनफल तो 35 है, लेकिन योग 36 होने से बीच का पद \(36x\) बनेगा। याद रखें: \(x^2+px+q\) में दो संख्याओं का योग \(p\) और गुणनफल \(q\) होना चाहिए।
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