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In Class 12 Mathematics, the topic Functions develops the idea of a rule that assigns exactly one output to each element of a given set. As part of the chapter Relations and Functions, students learn to identify the domain, codomain and range, represent functions through mappings and graphs, and distinguish between one-one, many-one, into and onto functions. They also study composition of functions and the conditions under which an inverse function exists, building skills used in algebra, calculus and mathematical modelling.
Hard · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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([0,\infty))
([1,\infty))
([2,\infty))
(\mathbb{R})
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Because the numerator becomes zero
Because the denominator becomes zero
Because the value becomes (1)
Because the function becomes constant
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Zero function
Constant function
Identity function
Square function
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Because (f(x)\geq 1)
Because (f(x)\leq 1)
Because (f(0)=0)
Because every value is negative
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(f^{-1}) exists and is a function from (B) to (A)
(f^{-1}) is always constant
(f^{-1}) is only from (A) to (B)
(f^{-1}) never exists
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They are always equal
((f\circ g)(x)=x^2+2)
((g\circ f)(x)=x^2+2)
Both are not defined
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(x=-2)
(x=0)
(x=2)
(x=4)
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One-one and onto
One-one but not onto
Onto but not one-one
Neither one-one nor onto
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(1)
(2)
(3)
(4)
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(1)
(2)
(3)
(4)
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Because its range is ([-1,1])
Because its domain is empty
Because it is not defined everywhere
Because it gives only positive values
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(4)
(16)
(24)
(256)
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([-3,3])
((-\infty,-3])
([3,\infty))
(\mathbb{R})
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It is one-one but not onto
It is onto but not one-one
It is both one-one and onto
It is constant
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(\mathbb{R})
([0,\infty))
((0,\infty))
((-\infty,0))
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One-one and onto
One-one but not onto
Onto but not one-one
Neither one-one nor onto
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Because (f(0)=f(\sqrt{3}))
Because (f(1)=f(2))
Because (f(x)) is not defined
Because the range is empty
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(\frac{x+3}{x-2})
(\frac{x-3}{x+2})
(\frac{2x+3}{x-1})
(\frac{x+2}{x-3})
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(f) is one-one
(g) is one-one
(f) is onto
(g) is onto
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\(\frac{3}{2}\)
\(-\frac{3}{2}\)
(2)
(-4)
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(24)
(36)
(48)
(81)
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(3+\sqrt{x-1})
(3-\sqrt{x-1})
(\sqrt{x+1}-3)
(x^2+3)
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(g^{-1}\circ f^{-1})
(f^{-1}\circ g^{-1})
(f\circ g)
(g\circ f)
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Both one-one and onto
One-one but not onto
Onto but not one-one
Neither one-one nor onto
Question 1HardLevel 6
If (f:A\to B), (A={1,2}), and (B={3,4,5}), how many onto functions exist from (A) to (B)?यदि (f:A\to B) है, (A={1,2}) और (B={3,4,5}), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: In an onto function, all (3) elements of (B) must appear as images. Step 2: (A) has only (2) elements, so at most (2) distinct images are possible. Step 3: When the domain is smaller than the codomain, an onto function is impossible.चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के सभी (3) तत्व छवि के रूप में आने चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (2) तत्व हैं, इसलिए अधिकतम (2) अलग छवियाँ मिल सकती हैं। चरण 3: जब प्रांत छोटा हो और सहप्रांत बड़ा हो, आच्छादी फलन संभव नहीं होता।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^2+2x+2), what is the range of (f)?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^2+2x+2), तो (f) का परास क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: Complete the square: (x^2+2x+2=(x+1)^2+1). Step 2: Since ((x+1)^2\geq 0), the minimum value is (1). Step 3: Thus the range is ([1,\infty)).चरण 1: वर्ग पूर्ण करें: (x^2+2x+2=(x+1)^2+1)। चरण 2: ((x+1)^2\geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। चरण 3: अतः परास ([1,\infty)) है।
If (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), why is (x=-4) excluded from the domain?यदि (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), तो (x=-4) को प्रांत से क्यों हटाया जाता है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: In a rational function, the denominator cannot be zero. Step 2: Substituting (x=-4) gives (x+4=0). Step 3: Hence (x=-4) is not included in the domain.चरण 1: भिन्न वाले फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: (x=-4) रखने पर (x+4=0) हो जाता है। चरण 3: इसलिए (x=-4) प्रांत का भाग नहीं होगा।
If (f(x)=3x-1) and (g(x)=\frac{x+1}{3}), what kind of function is (g\circ f)?यदि (f(x)=3x-1) और (g(x)=\frac{x+1}{3}), तो (g\circ f) कैसा फलन है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: ((g\circ f)(x)=g(3x-1)). Step 2: (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x). Step 3: A function that gives (x) for every (x) is the identity function.चरण 1: ((g\circ f)(x)=g(3x-1))। चरण 2: (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। चरण 3: जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^4+1), why is (f) not onto?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^4+1), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For every real (x), (x^4\geq 0). Step 2: Therefore (f(x)=x^4+1\geq 1), so a real number like (0) is not attained. Step 3: To test onto, look for values in the codomain that are missed.चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए (x^4\geq 0) होता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=x^4+1\geq 1), और (0) जैसा वास्तविक मान छवि नहीं बनता। चरण 3: आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के छूटे हुए मान खोजें।
If (f:A\to B) is both one-one and onto, which statement about (f^{-1}) is correct?यदि (f:A\to B) एकैकी और आच्छादी दोनों है, तो (f^{-1}) के बारे में कौन सा कथन सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: One-one ensures each image has a unique original element. Step 2: Onto ensures every element of (B) is actually an image. Step 3: Therefore, the inverse function exists from (B) to (A).चरण 1: एकैकी होने से हर छवि का मूल तत्व अलग और निश्चित होता है। चरण 2: आच्छादी होने से (B) का हर तत्व किसी न किसी (A) तत्व की छवि है। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम फलन (B\to A) के रूप में मौजूद होता है।
If (f(x)=x^2) and (g(x)=x+2), which statement about ((f\circ g)(x)) and ((g\circ f)(x)) is correct?यदि (f(x)=x^2) और (g(x)=x+2), तो ((f\circ g)(x)) और ((g\circ f)(x)) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: ((f\circ g)(x)=f(x+2)=(x+2)^2). Step 2: ((g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+2). Step 3: Composition of functions is generally not commutative.चरण 1: ((f\circ g)(x)=f(x+2)=(x+2)^2)। चरण 2: ((g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+2)। चरण 3: संयुक्त फलन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=|x-2|), at which (x) will (f) attain its minimum value?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) और (f(x)=|x-2|), तो (f) का न्यूनतम मान किस (x) पर आएगा?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: An absolute value is always (0) or positive. Step 2: The minimum of (|x-2|) is (0), which occurs when (x-2=0). Step 3: Therefore, the function is minimum at (x=2).चरण 1: निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: (|x-2|) का न्यूनतम (0) तब मिलेगा जब (x-2=0)। चरण 3: इसलिए (x=2) पर फलन न्यूनतम है।
Which is the correct classification of the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where \(f(x)=x^3-x\)?फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), जहाँ \(f(x)=x^3-x\), का सही वर्गीकरण कौन-सा है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Since \(f(-1)=0\) and \(f(0)=0\) although \(-1\ne0\), the function is not one-one. As this cubic attains values from \(-\infty\) to \(+\infty\), it is onto \(\mathbb{R}\). Exam tip: equal outputs for distinct inputs disprove injectivity.\(f(-1)=0\) और \(f(0)=0\) होने पर भी \(-1\ne0\) है, इसलिए फलन एक-एक नहीं है। चूँकि घन बहुपद के मान \(-\infty\) से \(+\infty\) तक जाते हैं, यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक है। परीक्षा में समान फलन-मूल्य खोजकर एक-एकता जाँचें।
If (f(x)=2x+3) and ((f\circ f)(x)=19), what is the value of (x)?यदि (f(x)=2x+3) और ((f\circ f)(x)=19), तो (x) का मान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: ((f\circ f)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9). Step 2: (4x+9=19), so (4x=10). Step 3: The calculated value is (x=\frac{5}{2}), so the options should include (\frac{5}{2}).चरण 1: ((f\circ f)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9)। चरण 2: (4x+9=19), इसलिए (4x=10)। चरण 3: (x=\frac{5}{2}) आता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सटीक नहीं दिखता; सही गणना के अनुसार (x=\frac{5}{2}) होना चाहिए।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) और (f(x)=\sin x), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The value of (\sin x) always lies between (-1) and (1). Step 2: The codomain is (\mathbb{R}), which includes values like (2) that are not attained. Step 3: For onto checking, compare the range with the codomain.चरण 1: (\sin x) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: सहप्रांत (\mathbb{R}) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं जो छवि नहीं बनते। चरण 3: आच्छादीपन में परास और सहप्रांत की तुलना करें।
If (f:A\to A), where (A={1,2,3,4}), is a permutation function, how many such functions exist?यदि (f:A\to A) जहाँ (A={1,2,3,4}), एक क्रमचय फलन है, तो ऐसे कितने फलन होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: A permutation function means a one-one and onto function from (A) to (A). Step 2: The number of ways to arrange (4) elements in (4) positions is (4!). Step 3: Hence there are (24) such functions.चरण 1: क्रमचय फलन का अर्थ है (A) से (A) में एकैकी और आच्छादी फलन। चरण 2: (4) तत्वों को (4) अलग स्थानों पर जमाने के तरीके (4!) होते हैं। चरण 3: इसलिए ऐसे फलन (24) हैं।
If (f(x)=\sqrt{9-x^2}), what is the real domain?यदि (f(x)=\sqrt{9-x^2}), तो वास्तविक प्रांत क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The expression inside the square root must satisfy (9-x^2\geq 0). Step 2: This gives (x^2\leq 9), meaning (-3\leq x\leq 3). Step 3: When square roots and squares appear together, solve the inequality carefully.चरण 1: वर्गमूल के अंदर (9-x^2\geq 0) होना चाहिए। चरण 2: इससे (x^2\leq 9), अर्थात (-3\leq x\leq 3) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल और वर्ग दोनों होने पर असमानता को सावधानी से हल करें।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=2^x), which statement about (f) is correct?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) और (f(x)=2^x), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (2^x) is an increasing function, so it is one-one. Step 2: Its value is always positive, so no negative real number is attained. Step 3: Knowing the range of an exponential function helps in checking onto.चरण 1: (2^x) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। चरण 3: घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है।
If (f(x)=\ln x), what is the real domain?यदि (f(x)=\ln x), तो वास्तविक प्रांत क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: (\ln x) is defined only for positive (x). Step 2: (x=0) and negative (x) are not included in the real domain. Step 3: For logarithmic functions, the inside expression must be (>0).चरण 1: (\ln x) केवल धनात्मक (x) के लिए परिभाषित होता है। चरण 2: (x=0) और ऋणात्मक (x) वास्तविक प्रांत में नहीं आते। चरण 3: लघुगणकीय फलन में अंदर की राशि हमेशा (>0) रखें।
If (f:A\to B), (A={1,2,3}), (B={a,b,c}), and (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b), what type of function is (f)?यदि (f:A\to B) है, (A={1,2,3}), (B={a,b,c}), और (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b), तो (f) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:D
Step 1: (f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one. Step 2: (c) is not the image of any element, so the function is not onto. Step 3: For finite sets, list the images to test both properties.चरण 1: (f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: (c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^3-3x), why is (f) not one-one?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^3-3x), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (f(0)=0). Step 2: (f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while (0\neq \sqrt{3}). Step 3: If two distinct inputs give the same image, the function is not one-one.चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि (0\neq \sqrt{3})। चरण 3: दो अलग इनपुट की समान छवि मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता।
If (f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}) is defined by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what is (f^{-1}(x))?यदि (f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Let (y=\frac{2x+3}{x-1}). Step 2: Then (yx-y=2x+3), so (x(y-2)=y+3) and (x=\frac{y+3}{y-2}). Step 3: Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).चरण 1: (y=\frac{2x+3}{x-1}) मानें। चरण 2: (yx-y=2x+3), इसलिए (x(y-2)=y+3) और (x=\frac{y+3}{y-2})। चरण 3: अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}) मिलता है।
If (f:A\to B) and (g:B\to C) are functions and (g\circ f) is one-one, which conclusion is definitely true?यदि (f:A\to B) और (g:B\to C) फलन हैं तथा (g\circ f) एकैकी है, तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Suppose (f(a_1)=f(a_2)). Step 2: Then (g(f(a_1))=g(f(a_2))), so ((g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)). Step 3: Since (g\circ f) is one-one, (a_1=a_2); therefore (f) is one-one.चरण 1: मान लें (f(a_1)=f(a_2))। चरण 2: तब (g(f(a_1))=g(f(a_2))), अर्थात ((g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2))। चरण 3: क्योंकि (g\circ f) एकैकी है, इसलिए (a_1=a_2); अतः (f) एकैकी है।
If \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) is defined by \(f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}\), which real value will not occur in the range of (f)?यदि \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}\) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा वास्तविक मान (f) के परास में नहीं आएगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Put \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) and solve for (x). Step 2: \(y(2x+1)=3x-4\), so \(x(2y-3)=-(y+4)\). Step 3: If \(2y-3=0\), (x) is not obtained; hence \(\frac{3}{2}\) is not in the range.चरण 1: \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) मानकर (x) को (y) के रूप में निकालें। चरण 2: \(y(2x+1)=3x-4\), इसलिए \(x(2y-3)=-(y+4)\)। चरण 3: \(2y-3=0\) होने पर (x) नहीं मिलेगा, इसलिए \(\frac{3}{2}\) परास में नहीं आएगा।
If (A={1,2,3,4}) and (B={a,b,c}), how many onto functions are there from (A) to (B)?यदि (A={1,2,3,4}) और (B={a,b,c}), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी होगी?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: Total functions are (3^4=81). Step 2: Remove functions that miss at least one element: (3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45). Step 3: Onto functions are (81-45=36).चरण 1: कुल फलन (3^4=81) हैं। चरण 2: जो फलन कम से कम एक तत्व को छोड़ देते हैं, उन्हें हटाएँ: (3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45)। चरण 3: आच्छादी फलन (81-45=36) होंगे।
If (f:[3,\infty)\to[1,\infty)) is defined by (f(x)=x^2-6x+10), what is (f^{-1}(x))?यदि (f:[3,\infty)\to[1,\infty)) को (f(x)=x^2-6x+10) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (f(x)=x^2-6x+10=(x-3)^2+1). Step 2: From (y=(x-3)^2+1), we get ((x-3)^2=y-1). Step 3: Since the domain is ([3,\infty)), (x-3\geq0), so the inverse is (3+\sqrt{x-1}).चरण 1: (f(x)=x^2-6x+10=(x-3)^2+1)। चरण 2: (y=(x-3)^2+1) से ((x-3)^2=y-1) मिलता है। चरण 3: प्रांत ([3,\infty)) है, इसलिए (x-3\geq0) और प्रतिलोम (3+\sqrt{x-1}) होगा।
If (f:A\to B) and (g:B\to C) are both invertible functions, then ((g\circ f)^{-1}) is equal to which expression?यदि (f:A\to B) और (g:B\to C) दोनों प्रतिलोम रखने वाले फलन हैं, तो ((g\circ f)^{-1}) किसके बराबर होगा?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: In (g\circ f), (f) acts first and then (g). Step 2: To reverse the process, apply (g^{-1}) first and then (f^{-1}). Step 3: Hence the order reverses, so ((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}).चरण 1: (g\circ f) में पहले (f) लगता है, फिर (g) लगता है। चरण 2: वापस आने के लिए पहले (g^{-1}) और फिर (f^{-1}) लगाना पड़ेगा। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम का क्रम उल्टा हो जाता है और ((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}) होता है।
If (f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}) is defined by (f(n)=n+1), where (\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}), what type of function is (f)?यदि (f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}) को (f(n)=n+1) से परिभाषित किया गया है, जहाँ (\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}), तो (f) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: If (n_1\neq n_2), then (n_1+1\neq n_2+1), so the function is one-one. Step 2: The codomain (\mathbb{N}) contains (1), but there is no (n\in\mathbb{N}) such that (n+1=1). Step 3: Therefore, the function is one-one but not onto.चरण 1: यदि (n_1\neq n_2), तो (n_1+1\neq n_2+1), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सहप्रांत (\mathbb{N}) में (1) है, लेकिन कोई (n\in\mathbb{N}) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। चरण 3: इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है।
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