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Class 11 Mathematics Expert Level 28

संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x+1,\ x\in X,\ y\in Y\}\), जहाँ \(X=\{0,3,8\}\) और \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\), को \(X\) से \(Y\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?

The relation \(R=\{(x,y):y^2=x+1,\ x\in X,\ y\in Y\}\), where \(X=\{0,3,8\}\) and \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\), is considered from \(X\) to \(Y\). What is the correct conclusion?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. यह फलन नहीं है, क्योंकि \(0\) की दो छवियां हैंIt is not a function because \(0\) has two images

Explanation

Simple Explanation

\(x=0\) रखने पर \(y^2=1\), इसलिए \(y=1\) और \(y=-1\) दोनों प्राप्त होते हैं। अतः संबंध में \((0,1)\) और \((0,-1)\) दोनों सम्मिलित हैं। किसी फलन में प्रत्येक अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए; इसलिए यह फलन नहीं है। इसी प्रकार \(x=3\) के लिए \(y=\pm2\) और \(x=8\) के लिए \(y=\pm3\) मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध को फलन जाँचने के लिए देखें कि डोमेन के किसी भी एक अवयव से दो अलग-अलग मान संबद्ध तो नहीं हैं। / For \(x=0\), the equation gives \(y^2=1\), so both \(y=1\) and \(y=-1\) are obtained. Thus, the relation contains both \((0,1)\) and \((0,-1)\). A function must assign exactly one image to each element of its domain, so this relation is not a function. Likewise, \(x=3\) gives \(y=\pm2\), and \(x=8\) gives \(y=\pm3\). Exam tip: to test a relation for being a function, check whether any one domain element is paired with two different elements of the codomain.

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Correct Answer: B. यह फलन नहीं है, क्योंकि \(0\) की दो छवियां हैं / It is not a function because \(0\) has two images. Explanation: \(x=0\) रखने पर \(y^2=1\), इसलिए \(y=1\) और \(y=-1\) दोनों प्राप्त होते हैं। अतः संबंध में \((0,1)\) और \((0,-1)\) दोनों सम्मिलित हैं। किसी फलन में प्रत्येक अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए; इसलिए यह फलन नहीं है। इसी प्रकार \(x=3\) के लिए \(y=\pm2\) और \(x=8\) के लिए \(y=\pm3\) मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध को फलन जाँचने के लिए देखें कि डोमेन के किसी भी एक अवयव से दो अलग-अलग मान संबद्ध तो नहीं हैं। / For \(x=0\), the equation gives \(y^2=1\), so both \(y=1\) and \(y=-1\) are obtained. Thus, the relation contains both \((0,1)\) and \((0,-1)\). A function must assign exactly one image to each element of its domain, so this relation is not a function. Likewise, \(x=3\) gives \(y=\pm2\), and \(x=8\) gives \(y=\pm3\). Exam tip: to test a relation for being a function, check whether any one domain element is paired with two different elements of the codomain.