यदि \(f(x)=x^2-4\) और \(g(x)=\sqrt{x-2}\) हों, तो \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) का प्रांत (डोमेन) क्या होगा?

Correct Answer: A. \((2,\infty)\). Explanation: भागफल \(\frac{f(x)}{g(x)}\) के लिए वर्गमूल \(\sqrt{x-2}\) परिभाषित होना चाहिए, इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 2\)। साथ ही, हर शून्य नहीं हो सकता; \(\sqrt{x-2}\ne 0\) से \(x\ne 2\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों को मिलाने पर डोमेन \((2,\infty)\) है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि उसमें \(x=2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: भागफल का डोमेन निकालते समय मूल वाले व्यंजक की शर्त और हर के शून्य न होने की शर्त दोनों जाँचें। / For the quotient \(\frac{f(x)}{g(x)}\), the square root \(\sqrt{x-2}\) must be defined, so \(x-2\ge 0\), giving \(x\ge 2\). Also, the denominator cannot be zero; \(\sqrt{x-2}\ne 0\) requires \(x\ne 2\). Combining these conditions gives the domain \((2,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(x=2\), where the denominator is zero. Exam tip: For a quotient involving a radical, check both the radical's domain condition and the condition that the denominator is nonzero.