यदि \(A=\{\emptyset\}\) है तो \(\mathcal{P}(A)\) में कितने तत्व होंगे?

Correct Answer: B. 2. Explanation: यहाँ \(A=\{\emptyset\}\) है, अर्थात् सेट A का एक ही तत्व है और वह तत्व खाली समुच्चय \(\emptyset\) है। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या नियमतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। इसलिए \(n=1\) होने पर उपसमुच्चय होंगे \(2^1=2\)। उन दो उपसमुच्चयों को लिखें: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) — यही \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। अक्सर छात्रों की सामान्य भूल यह है कि वे \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) को एक ही समझ लेते हैं; यदि सेट खुद खाली होता (यानी \(A=\emptyset\)) तब उपसमुच्चय केवल एक (\(2^0=1\)) होते — यही वजह से विकल्प A गलत है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में दिए गए सेट को ध्यान से पढ़ें — यह खाली सेट नहीं बल्कि खाली सेट को घटक के रूप में रखता है। / Here \(A=\{\emptyset\}\), so A has exactly one element, namely the empty set \(\emptyset\). The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). With \(n=1\) we get \(2^1=2\) subsets. Explicitly the subsets are \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\), which are the two elements of \(\mathcal{P}(A)\). A common mistake is to confuse \(\emptyset\) (the empty set) with \(\{\emptyset\}\) (a set containing the empty set); if A were \(\emptyset\) then there would be \(2^0=1\) subset, so option A would be correct only in that different case. Exam tip: always check whether the empty set is an element of the set or the set itself is empty.