यदि A = {1,2,3,4} है तो A के कितने उपसमुच्चयों में 1 अवश्य होता है और 4 नहीं होता?

Correct Answer: B. 4. Explanation: यहाँ 1 अवश्य शामिल है और 4 निषिद्ध है, अतः शेष तत्व केवल 2 और 3 स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं — प्रत्येक के लिए दो विकल्प (रहना या न रहना)। इसलिए स्वतंत्र विकल्पों की संख्या है \(2^2=4\)। अतः सही उत्तर 4 है। निकटवर्ती भ्रम: 2 तब गलत होगा जब केवल एक ही तत्व स्वतंत्र माना जाए (\(2^1\)); 8 तब गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र तत्व मानने पर मिलता है (\(2^3\))। परीक्षा-सूत्र: यदि k तत्व स्वतंत्र हों तो उपसमुच्चयों की संख्या \(2^k\) है। / Here 1 must be included and 4 is excluded, so the remaining elements 2 and 3 are free to be either in or out of a subset — each has 2 choices. Thus the number of possibilities is \(2^2=4\). Therefore the correct count is 4. Closest distractor explained: 2 would be correct only if there were one free element (\(2^1\)), while 8 corresponds to three free elements (\(2^3\)), so both are incorrect. Exam tip: if k elements are free, number of subsets = \(2^k\).