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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Relations Hard Level 25

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b)\in A\times A : a+b\text{ विषम है}\}\) की प्रकृति क्या है?

On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the nature of the relation \(R=\{(a,b)\in A\times A : a+b\text{ is odd}\}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. सममित, लेकिन स्वसम नहींSymmetric but not reflexive

Explanation

Simple Explanation

यदि \((a,b)\in R\), तो \(a+b\) विषम है। चूँकि \(b+a=a+b\), इसलिए \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। लेकिन किसी भी \(a\in A\) के लिए \(a+a=2a\) सम होता है, इसलिए \((a,a)\notin R\) और संबंध स्वसम नहीं है। यह तुल्यता संबंध भी नहीं है, क्योंकि यह स्वसम नहीं है और उदाहरणतः \((1,2),(2,3)\in R\), पर \((1,3)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: \(a+b\) विषम होने वाला संबंध सामान्यतः विपरीत समता वाले युग्मों को जोड़ता है और स्वसम नहीं होता। / If \((a,b)\in R\), then \(a+b\) is odd. Since \(b+a=a+b\), \((b,a)\in R\) as well; hence the relation is symmetric. However, for every \(a\in A\), \(a+a=2a\) is even, so \((a,a)\notin R\), and the relation is not reflexive. It is therefore not an equivalence relation; in fact, \((1,2),(2,3)\in R\), but \((1,3)\notin R\), so it is not transitive either. Exam tip: A relation defined by an odd sum links elements of opposite parity and cannot be reflexive.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b)\in A\times A : a+b\text{ विषम है}\}\) की प्रकृति क्या है? / On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the nature of the relation \(R=\{(a,b)\in A\times A : a+b\text{ is odd}\}\)?

Correct Answer: A. सममित, लेकिन स्वसम नहीं / Symmetric but not reflexive. Explanation: यदि \((a,b)\in R\), तो \(a+b\) विषम है। चूँकि \(b+a=a+b\), इसलिए \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। लेकिन किसी भी \(a\in A\) के लिए \(a+a=2a\) सम होता है, इसलिए \((a,a)\notin R\) और संबंध स्वसम नहीं है। यह तुल्यता संबंध भी नहीं है, क्योंकि यह स्वसम नहीं है और उदाहरणतः \((1,2),(2,3)\in R\), पर \((1,3)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: \(a+b\) विषम होने वाला संबंध सामान्यतः विपरीत समता वाले युग्मों को जोड़ता है और स्वसम नहीं होता। / If \((a,b)\in R\), then \(a+b\) is odd. Since \(b+a=a+b\), \((b,a)\in R\) as well; hence the relation is symmetric. However, for every \(a\in A\), \(a+a=2a\) is even, so \((a,a)\notin R\), and the relation is not reflexive. It is therefore not an equivalence relation; in fact, \((1,2),(2,3)\in R\), but \((1,3)\notin R\), so it is not transitive either. Exam tip: A relation defined by an odd sum links elements of opposite parity and cannot be reflexive.