Which inequality has solution ((-\infty,\infty)) in (\mathbb{R})?किस असमता का हल (\mathbb{R}) में ((-\infty,\infty)) है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (7x-4\leq 7x+9)(7x-4\leq 7x+9)
An inequality has every real number as its solution when simplifying it removes the variable and leaves a statement that is always true. If the remaining statement is always false, there are no solutions. This distinction is useful when the same variable expression appears on both sides.
For option C, subtracting \(7x\) from both sides of \(7x-4\leq7x+9\) gives \(-4\leq9\), which is true for every real number. Hence every real \(x\) satisfies it, so the solution set is \((-\infty,\infty)\). The other options reduce to false statements such as \(-1>2\), \(3<1\), or \(6<-8\).जब किसी असमता को सरल करने पर चर समाप्त हो जाए और बचा हुआ कथन हमेशा सत्य हो, तब हर वास्तविक संख्या उसका हल होती है। इसके विपरीत, यदि बचा कथन हमेशा असत्य हो, तो कोई हल नहीं होता। दोनों पक्षों में समान चर पद होने पर यह जाँच विशेष रूप से उपयोगी है।
विकल्प C में दोनों पक्षों से \(7x\) घटाने पर \(-4\leq9\) मिलता है। यह कथन हमेशा सत्य है, इसलिए हर वास्तविक \(x\) इस असमता को संतुष्ट करता है और हल समुच्चय \((-\infty,\infty)\) है। अन्य विकल्पों से हमेशा असत्य कथन मिलते हैं, इसलिए वे सभी वास्तविक संख्याओं के हल नहीं हैं।
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