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SubjectsMathematics
Introduction to Inequalities is a Class 11 Mathematics topic within the chapter Linear Inequalities. It helps students understand how inequalities compare quantities using symbols such as <, >, ≤, and ≥, and how their solutions differ from those of equations. Students learn to represent solution sets on the number line, interpret interval-like ranges, and solve basic linear inequalities. The topic also explains why the inequality sign reverses when both sides are multiplied or divided by a negative number.
Medium · Level 1 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. This is the most common medium-level mistake.ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। यह माध्यम स्तर की सबसे सामान्य गलती है।
Subtract (5) first and then divide by (2) so (x<4). The sign reverses only when division is by a negative number.पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें इसलिए (x<4) मिलता है। चिन्ह तभी उलटेगा जब भाग ऋणात्मक संख्या से हो।
After subtracting (7) we get (-4x\le 12) and dividing by (-4) reverses the sign to (x\ge -3). Pay special attention to negative coefficients.(7) घटाने पर (-4x\le 12) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर (x\ge -3) होगा। ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें।
The correct answer is option A: a closed dot at 5 with shading to the left. The inequality \(x\le5\) means x can be 5 or any number smaller than 5. Because equality is allowed, the point 5 must be included, so we draw a filled or closed dot. Smaller numbers lie to the left on a horizontal number line, so shade leftward. Option A shows both required features. Option B uses an open dot, which would mean 5 is excluded, as in \(x<5\). Option C uses a closed dot correctly for inclusion but shades right, representing numbers greater than or equal to 5. Option D uses an open dot and shades right, representing \(x>5\). Thus only A matches the inequality. Memory cue: filled means included; left means less than. The symbol \(\le\) combines both ideas.सही उत्तर विकल्प A है: 5 पर भरा हुआ बिंदु और बाईं ओर छाया। असमानता \(x\le5\) का अर्थ है कि x, 5 के बराबर या 5 से छोटा हो सकता है। बराबरी स्वीकार है, इसलिए 5 को शामिल दिखाने के लिए वहाँ भरा हुआ या बंद बिंदु लगाते हैं। संख्या रेखा पर छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं, इसलिए बाईं ओर छाया करेंगे। विकल्प A में दोनों बातें सही हैं। विकल्प B में खुला बिंदु है; वह 5 को बाहर कर देता और \(x<5\) दर्शाता। विकल्प C में भरा बिंदु तो है, पर छाया दाईं ओर है; वह \(x\ge5\) को दर्शाएगा। विकल्प D में खुला बिंदु और दाईं ओर छाया है; वह \(x>5\) को दर्शाता है। इसलिए केवल विकल्प A सही है। याद रखें: भरा बिंदु मतलब सिरा शामिल, और बाईं ओर मतलब छोटा। \(\le\) में दोनों बातें—बराबरी और छोटा—शामिल होती हैं।
The value (3) is included so use ([ \ ) and (8) is not included so use (\ )). Check equality at endpoints.(3) शामिल है इसलिए ([ \ ) लगेगा और (8) शामिल नहीं है इसलिए (\ )) लगेगा। सीमा बिंदुओं पर बराबरी जाँचें।
Adding (2) gives (\frac{x}{3}>3) and multiplying by (3) gives (x>9). Multiplication by a positive number keeps the sign unchanged.(2) जोड़ने पर (\frac{x}{3}>3) और (3) से गुणा करने पर (x>9) मिलता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है।
Subtracting the same number from both sides keeps the inequality type unchanged. The symbol (\le) still allows equality.दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर असमानता का प्रकार वही रहता है। (\le) में बराबरी की संभावना बनी रहती है।
The solution is (2x\ge 8) so (x\ge 4) and the least integer is (4). First find the real solution and then choose the integer.हल (2x\ge 8) यानी (x\ge 4) है इसलिए न्यूनतम पूर्णांक (4) है। पहले वास्तविक हल निकालें फिर पूर्णांक चुनें।
From (7-2x>1) we get (-2x>-6) and dividing by (-2) gives (x<3). The sign reverses during negative division.(7-2x>1) से (-2x>-6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर (x<3) होगा। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटता है।
The direct answer is option B, \\([-1,\\infty)\\). The inequality \\(x\\ge-1\\) means x is -1 or any number greater than -1. In interval notation, a square bracket at -1 shows that -1 is included, and infinity always uses a parenthesis because infinity is not an actual number that can be reached. Therefore the interval is \\([-1,\\infty)\\). Option B is correct. Option A, \\(( -\\infty,-1]\\), describes numbers less than or equal to -1, so it reverses the direction. Option C, \\((-1,\\infty)\\), excludes -1, but the symbol \\(\\ge\\) includes it. Option D, \\((-\\infty,-1)\\), describes numbers strictly less than -1 and excludes the endpoint. Check the endpoint first: equality means a square bracket; “greater than” means the interval extends right.सीधा उत्तर विकल्प B, \\([-1,\\infty)\\) है। असमानता \\(x\\ge-1\\) का अर्थ है कि x, -1 के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है। अंतराल संकेत में -1 पर वर्ग कोष्ठक बताता है कि -1 शामिल है। अनंत पर हमेशा गोल कोष्ठक होता है, क्योंकि अनंत कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसे शामिल किया जा सके। इसलिए अंतराल \\([-1,\\infty)\\) है। विकल्प B सही है। विकल्प A, \\(( -\\infty,-1]\\), -1 से छोटी या बराबर संख्याएँ बताता है, इसलिए दिशा उलटी है। विकल्प C में -1 को बाहर किया गया है, जबकि \\(\\ge\\) उसे शामिल करता है। विकल्प D केवल -1 से छोटी संख्याएँ देता है और endpoint को बाहर रखता है। पहले endpoint जाँचें: बराबरी हो तो वर्ग कोष्ठक, और “से बड़ा” हो तो अंतराल दाईं ओर जाता है।
Since (5) is positive, dividing by (5) does not change the sign and gives (x\le 4). Keep the equality part of the sign.(5) धनात्मक है इसलिए (5) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता और (x\le 4) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह बनाए रखें।
The governing rule is that multiplication or division by a positive number preserves the direction of an inequality. From a > b and c > 0, multiplying every part by c gives ac > bc, so option B is always true. The sign would reverse only if c were negative; that condition is explicitly excluded. Option A has the wrong direction. Dividing by the positive number c also preserves the direction, so option C is false because it uses < rather than >. Adding c to both sides would give a + c > b + c, not option D. Thus the positive-multiplier property identifies B without needing particular numerical values for a, b, or c.इस प्रश्न में असमानता के धनात्मक गुणक वाले नियम का प्रयोग होता है। यदि a > b और c > 0 है, तो दोनों पक्षों को c से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है; इसलिए ac > bc प्राप्त होता है और विकल्प B सही है। यदि गुणक ऋणात्मक होता, तभी चिन्ह उलटता, लेकिन यहाँ c को धनात्मक दिया गया है। विकल्प A में दिशा गलत है। c से भाग देने पर भी, क्योंकि c धनात्मक है, दिशा नहीं बदलेगी और a/c > b/c होना चाहिए; इसलिए विकल्प C गलत है। इसी प्रकार दोनों ओर c जोड़ने पर a + c > b + c मिलेगा, न कि विकल्प D। अतः बिना कोई विशेष मान चुने विकल्प B हमेशा सत्य सिद्ध होता है।
Subtracting (x) and (2) gives (2x\ge 8) so (x\ge 4). Dividing by positive (2) does not change the sign.(x) घटाने और (2) घटाने पर (2x\ge 8) इसलिए (x\ge 4) है। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता।
Subtracting (1) from all parts gives (-6\le 2x<8), and dividing by (2) gives (-3\le x<4). Change both bounds together in a compound inequality.सभी भागों से (1) घटाने पर (-6\le 2x<8) और (2) से भाग देने पर (-3\le x<4) मिलता है। संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें।
In (x<2), the value (2) is not included and numbers smaller than (2) lie to the left. Hence an open dot with left shading is correct.(x<2) में (2) शामिल नहीं होता और (2) से छोटी संख्याएँ बाईं तरफ होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और बाईं छाया सही है।
The statement says add and less than, so it becomes (x+8<20). While translating words to symbols, identify the operation carefully.कथन में जोड़ने और कम होने की बात है इसलिए (x+8<20) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रिया पहचानें।
The correct answer is option B: \(3y\le15\). The phrase “three times a number y” means multiply y by 3, giving \(3y\). The phrase “not more than 15” means the quantity may be less than 15 or exactly 15; in symbols, this is \(\le15\). Combining the phrases gives \(3y\le15\). Option A, \(3y<15\), would mean strictly less and would wrongly exclude equality, such as \(3y=15\). Option B is correct because “not more than” includes equality. Option C, \(3y>15\), means more than 15, the opposite meaning. Option D, \(3y\ge15\), means at least 15 and is also opposite to the intended restriction. Memory cue: “not more than” and “at most” mean \(\le\); “not less than” means \(\ge\).सही उत्तर विकल्प B है: \(3y\le15\)। “किसी संख्या y का तीन गुना” का अर्थ y को 3 से गुणा करना है, इसलिए \(3y\) मिलेगा। “15 से अधिक नहीं” का अर्थ है कि वह 15 से छोटा या 15 के बराबर हो सकता है। गणितीय चिन्ह में इसका अर्थ \(\le15\) होता है। दोनों भाग मिलाने पर \(3y\le15\) प्राप्त होता है। विकल्प A, \(3y<15\), केवल छोटा होने की बात कहता है और बराबरी को गलत ढंग से बाहर कर देता है; उदाहरण के लिए \(3y=15\) मान्य होना चाहिए। विकल्प B सही है क्योंकि “अधिक नहीं” में बराबरी शामिल रहती है। विकल्प C, \(3y>15\), 15 से अधिक का अर्थ देता है, जो विपरीत है। विकल्प D, \(3y\ge15\), कम-से-कम 15 का अर्थ देता है और वह भी गलत दिशा है। याद रखें: “अधिकतम”, “अधिक नहीं” और “at most” का संकेत \(\le\) होता है; “कम-से-कम” का संकेत \(\ge\) होता है।
Subtracting (6) gives (-3x\le 6), and dividing by (-3) gives (x\ge -2). Reverse the sign in negative division.(6) घटाने पर (-3x\le 6) और (-3) से भाग देने पर (x\ge -2) मिलता है। ऋणात्मक विभाजन में चिन्ह उलटें।
The inequality gives (2x<8), so (x<4). Among the given values (0,2,3,-1), all satisfy it, so no listed value is not a solution.असमानता से (2x<8) यानी (x<4) मिलता है इसलिए (x=3) हल है। लेकिन (x=4) चाहिए था इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं?
Multiplying by (3) gives (2x-1\le 15), then (2x\le 16), so (x\le 8). Multiplication by a positive denominator does not change the sign.(3) से गुणा करने पर (2x-1\le 15) और फिर (2x\le 16) इसलिए (x\le 8)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता।
The symbol (\ge) means greater than or equal to. Accurate reading of symbols is essential in word-based questions.(\ge) का अर्थ अधिक या बराबर होता है। प्रतीक पढ़ने की शुद्धता शब्द आधारित प्रश्नों में जरूरी है।
Adding the same number, 4, to both sides of an inequality does not change its direction. Therefore, \(x<y\) implies \(x+4<y+4\). Option B is incorrect because adding a number does not reverse the order. Exam tip: adding or subtracting the same quantity on both sides preserves the inequality sign.असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या 4 जोड़ने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। इसलिए \(x<y\) से \(x+4<y+4\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि जोड़ने से बड़ा-छोटा संबंध उलटता नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
The square of a real number is never negative, so (x^2\ge 0) is always true. This shows a basic idea of inequalities.किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता इसलिए (x^2\ge 0) हमेशा सत्य है। यह असमानता का मूल विचार समझाता है।
The symbol (\le) includes equality, so (x=5) is allowed. Strict signs (<) and (>) do not include the boundary.(\le) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (x=5) मान्य है। सख्त चिन्हों (<) और (>) में सीमा शामिल नहीं होती।
Dividing by (-2) reverses the inequality, so (x\le -5). In questions with a negative coefficient, changing the sign is essential.(-2) से भाग देने पर असमानता उलटती है इसलिए (x\le -5)। नकारात्मक गुणांक वाले प्रश्न में चिन्ह बदलना अनिवार्य है।
