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SubjectsMathematics
Introduction to Inequalities is a Class 11 Mathematics topic within the chapter Linear Inequalities. It helps students understand how inequalities compare quantities using symbols such as <, >, ≤, and ≥, and how their solutions differ from those of equations. Students learn to represent solution sets on the number line, interpret interval-like ranges, and solve basic linear inequalities. The topic also explains why the inequality sign reverses when both sides are multiplied or divided by a negative number.
Hard · Level 1 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Dividing by a negative number reverses the inequality sign. In exams, always reverse the sign when dividing by (-3).ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिन्ह बदलता है। परीक्षा में (-3) से भाग देते समय चिन्ह अवश्य पलटें।
The inequality gives (2x\leq 14), so (x\leq 7). With an integer restriction, choose an integer final answer.असमता से (2x\leq 14) इसलिए (x\leq 7) मिलता है। पूर्णांक प्रतिबंध हो तो अंतिम उत्तर पूर्णांक ही लें।
Simplifying gives (3x-6\geq 2x+5), so (x\geq 11). While opening brackets, handle signs and constants carefully.सरलीकरण से (3x-6\geq 2x+5) इसलिए (x\geq 11) है। कोष्ठक खोलते समय चिन्ह और स्थिर पद सावधानी से लिखें।
Multiplying by positive (3) does not change the sign and gives (x-1\leq 6). If the denominator is positive, the direction stays the same.धनात्मक (3) से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता और (x-1\leq 6) मिलता है। हर धनात्मक हो तो दिशा वही रहती है।
The inequality gives (3x<18), so (x<6). In (\mathbb{N}), usually take positive integers starting from (1).असमता से (3x<18) इसलिए (x<6) है। (\mathbb{N}) में सामान्यतः (1) से शुरू होने वाले धनात्मक पूर्णांक लें।
From (-1<2x+3\leq 9), we get (-4<2x\leq 6), hence (-2<x\leq 3). For integers, handle open and closed endpoints carefully.(-1<2x+3\leq 9) से (-4<2x\leq 6) और (-2<x\leq 3) मिलता है। पूर्णांक चुनते समय खुले और बंद सिरों का ध्यान रखें।
From (7-3x\leq -2), (-3x\leq -9), so (x\geq 3). Dividing by a negative coefficient reverses the sign.(7-3x\leq -2) से (-3x\leq -9) और (x\geq 3) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटता है।
Adding the same real number does not change the direction of inequality. For addition, the sign of (c) does not matter.एक ही वास्तविक संख्या जोड़ने से असमता की दिशा नहीं बदलती। जोड़ के लिए (c) का धनात्मक या ऋणात्मक होना मायने नहीं रखता।
From (0\leq 4x-8<12), we get (8\leq 4x<20), hence (2\leq x<5). Solve both ends of a compound inequality together.(0\leq 4x-8<12) से (8\leq 4x<20) और (2\leq x<5) मिलता है। संयुक्त असमता में दोनों सिरों को साथ-साथ हल करें।
Multiplying by (10) gives (2x+4\geq 5x-5), so (9\geq 3x). Multiplication by a positive LCM does not change the sign.(10) से गुणा करने पर (2x+4\geq 5x-5) और (9\geq 3x) मिलता है। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता।
Taking both conditions together gives (-2\leq x<3). The combined solution is the intersection of both inequalities.दोनों शर्तों को साथ लेने पर (-2\leq x<3) मिलता है। संयुक्त हल में दोनों असमताओं का प्रतिच्छेद लिया जाता है।
From (9\leq 3x+6), we get (3\leq 3x), hence (x\geq 1). Read the meaning carefully when the inequality is written in reverse order.(9\leq 3x+6) से (3\leq 3x) और (x\geq 1) मिलता है। असमता उलटी लिखी हो तो भी अर्थ ध्यान से पढ़ें।
The direct answer is A: 5≥x. The statement x≤5 says that x is less than or equal to 5. Reversing the order of the two sides gives the equivalent statement 5≥x; the meaning does not change. For example, x=5 satisfies both, and x=2 also satisfies both. A is correct because “x is at most 5” means “5 is at least x.” B, 5<x, means x<5 and excludes x=5, so it is not equivalent. C, x>5, describes values greater than 5, the opposite direction. D, 5≤x, means x≥5 and includes values greater than or equal to 5, also the reverse inequality. Note that merely changing sides changes the visible direction of the sign, but it does not mean multiplying by a negative number. The boundary value 5 must remain included because the original sign is ≤. Memory cue: read ≤ as “at most”; reversing sides changes it to ≥.सीधा उत्तर A है: 5≥x। x≤5 का अर्थ है कि x, 5 से छोटा या उसके बराबर है। दोनों पक्षों का क्रम उलटकर लिखने पर 5≥x मिलता है और अर्थ बिल्कुल वही रहता है। उदाहरण के लिए x=5 दोनों कथनों को संतुष्ट करता है, और x=2 भी दोनों में सही है। A सही है क्योंकि “x अधिकतम 5 है” का अर्थ “5, x से कम-से-कम इतना बड़ा है” अर्थात 5≥x है। B, 5<x, वास्तव में x<5 कहता है और x=5 को निकाल देता है, इसलिए समान नहीं है। C, x>5, 5 से बड़ी संख्याएँ बताता है, जो विपरीत दिशा है। D, 5≤x का अर्थ x≥5 है और यह 5 से बड़ी संख्याएँ लेता है। केवल पक्ष बदलने पर चिन्ह का दिखाई देने वाला खुला सिरा बदलता है; ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ही असमानता की दिशा बदलने का नियम अलग तरह से लागू होता है। याद रखें: ≤ को “अधिकतम” पढ़ें; क्रम उलटने पर ≥ लिखें।
In (x<3), (3) is not included and smaller numbers are included. Use an open circle for a strict inequality.(x<3) में (3) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएं शामिल हैं। सख्त असमता के लिए खुला वृत्त बनाएं।
From (3x+4\geq x-6), (2x\geq -10), so (x\geq -5). Keeping like terms organized reduces mistakes.(3x+4\geq x-6) से (2x\geq -10) और (x\geq -5) मिलता है। समान पदों को व्यवस्थित रखकर गलती कम होती है।
Subtracting the same number from both sides does not change the direction. Squares and reciprocals need extra conditions.दोनों ओर समान संख्या घटाने से असमता की दिशा नहीं बदलती। वर्ग और व्युत्क्रम के लिए अतिरिक्त शर्तें चाहिए।
The direct answer is A: 5. Start with 4x−1>15. Add 1 to both sides: 4x>16. Divide by the positive number 4: x>4. Because x must be an integer, the smallest integer greater than 4 is 5. A is correct, and checking it gives 4(5)−1=19>15. B, 4, is not allowed because 4(4)−1=15, and 15 is not greater than 15; the inequality is strict. C, 6, satisfies the inequality but is not the least possible value. D, 3, gives 11>15, which is false. Dividing by a positive number keeps the sign unchanged; if we divided by a negative number, the sign would reverse, but that does not happen here. The integer condition is essential: among real numbers there is no least real number greater than 4, but among integers the next value is 5. Memory cue: for x>4 with x∈Z, move to the next integer, not 4.सीधा उत्तर A है: 5। असमानता 4x−1>15 से शुरू करें। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर 4x>16 मिलता है। अब धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर x>4 रहता है; चिन्ह नहीं बदलता। x पूर्णांक है, इसलिए 4 से बड़ी सबसे छोटी पूर्णांक संख्या 5 है। A सही है; जाँच में 4(5)−1=19>15 मिलता है। B, 4 गलत है, क्योंकि 4(4)−1=15 होता है और 15, 15 से बड़ा नहीं है; सख्त > में बराबरी स्वीकार नहीं होती। C, 6 असमानता को संतुष्ट करता है, लेकिन वह सबसे छोटा संभव मान नहीं है। D, 3 रखने पर 11>15 गलत मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह वही रहता है; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता, पर यहाँ ऐसा नहीं है। पूर्णांक की शर्त जरूरी है: वास्तविक संख्याओं में 4 से बड़ी सबसे छोटी संख्या नहीं होती, लेकिन पूर्णांकों में अगली संख्या 5 है। याद रखें: x>4 और x∈Z हो तो अगला पूर्णांक लें, 4 नहीं।
Direct answer: option A, 3≤x<7. Solve each inequality separately. From 2x+1≥7, subtract 1 on both sides: 2x≥6. Divide by the positive number 2: x≥3; the inequality sign stays the same. From x-4<3, add 4: x<7. The word “and” means both conditions must hold at once, so take their overlap: x is at least 3 but less than 7, written 3≤x<7. Option A is correct. Option B reverses which endpoint is included and excluded. Option C keeps only x≥7, which does not follow and misses values such as 4. Option D keeps only x<3, which contradicts the first inequality and misses valid values such as 3. On a number line, use a closed dot at 3 and an open dot at 7.सीधा उत्तर: विकल्प A, 3≤x<7। पहले असमिका को अलग हल करें। 2x+1≥7 में दोनों ओर से 1 घटाने पर 2x≥6 मिलता है। धन संख्या 2 से भाग देने पर x≥3 मिलता है और चिन्ह नहीं बदलता। दूसरी असमिका x-4<3 में दोनों ओर 4 जोड़ने पर x<7 मिलता है। “और” का अर्थ है कि दोनों शर्तें एक साथ सत्य हों, इसलिए उनका साझा भाग 3≤x<7 है। विकल्प A सही है। विकल्प B में सिरों के खुले और बंद होने की स्थिति उलटी है। विकल्प C केवल x≥7 कहता है, जो परिणाम नहीं है और 4 जैसे मानों को छोड़ देता है। विकल्प D केवल x<3 कहता है, जो पहली शर्त के विरुद्ध है और x=3 जैसे मान को छोड़ देता है। संख्या रेखा पर 3 पर बंद बिंदु और 7 पर खुला बिंदु लगाएँ।
Option A, \(2\leq x<6\), includes \(x=2\) because the symbol next to 2 is \(\leq\), but excludes \(x=6\) because the symbol next to 6 is strict \(<\). Option D also includes 6, while options B and C exclude 2. Exam tip: \(\leq\) and \(\geq\) include an endpoint, whereas \(<\) and \(>\) exclude it.विकल्प A, \(2\leq x<6\), में \(x=2\) शामिल है क्योंकि 2 के साथ \(\leq\) का चिह्न है, जबकि \(x=6\) शामिल नहीं है क्योंकि 6 के साथ केवल \(<\) का चिह्न है। विकल्प D में 6 भी शामिल हो जाता है, और विकल्प B तथा C में 2 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: \(\leq\) या \(\geq\) सिरों को शामिल करते हैं, जबकि \(<\) या \(>\) सिरों को बाहर रखते हैं।
Dividing by (-2) reverses the inequality to (a>-3). Division by a negative number is the most common mistake point.(-2) से भाग देने पर असमता उलटकर (a>-3) हो जाती है। ऋणात्मक संख्या से भाग देना सबसे सामान्य गलती वाला चरण है।
From (6<2x+4), we get (2<2x), hence (x>1). Even when the inequality starts with a number, keep the order carefully.(6<2x+4) से (2<2x) और (x>1) मिलता है। असमता बाईं ओर संख्या से शुरू हो तो भी क्रम ध्यान से रखें।
(-3) is included because of (\leq), while (1) is not included because of (<). Check open and closed endpoints separately.(-3) शामिल है क्योंकि (\leq) है और (1) शामिल नहीं है क्योंकि (<) है। खुले और बंद सिरों को अलग-अलग जांचें।
From (10-5x\geq 0), (-5x\geq -10), so (x\leq 2). The boundary (2) is included because the sign was (\geq).(10-5x\geq 0) से (-5x\geq -10) और (x\leq 2) मिलता है। सीमा (2) शामिल है क्योंकि चिन्ह (\geq) था।
A closed circle includes (0), and right-side shading shows numbers greater than (0). Therefore (x\geq 0) is correct.बंद वृत्त (0) को शामिल करता है और दाईं ओर छाया (0) से बड़ी संख्याओं को दिखाती है। इसलिए (x\geq 0) सही है।
Not less than means greater than or equal to (18). In word problems, match phrases correctly with inequality signs.कम नहीं है का अर्थ (18) से बड़ा या बराबर है। भाषा आधारित प्रश्नों में शब्दों को असमता चिन्ह से सही मिलाएं।
