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Graphical solution of linear inequalities in two variables
In this Class 11 Mathematics topic from the chapter Linear Inequalities, students learn how to represent a linear inequality in two variables on the Cartesian plane. They study how to draw the boundary line, decide whether it is included or excluded, and identify the correct half-plane by testing a point. The topic also explains how multiple inequalities can be represented together to find their common feasible region, helping students interpret solutions visually and connect algebraic conditions with graphs.
Medium · Level 7 · 2 questions
TOPIC PRACTICE
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Inside the solution region and not on any boundary
Outside the solution region
Only on the boundary x+y=6
Only on the boundary x+2y=10
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(1, 0), (7, 0), (3, 2), (1, 3)
(0, 0), (4, 0), (3, 2), (0, 3)
(1, 0), (4, 0), (3, 2), (1, 3)
(1, 0), (4, 0), (2, 3), (1, 7)
Question 1MediumLevel 7
If x+2y ≤ 10, x+y ≥ 6, and y ≥ 1, what is the position of (4,2)?यदि x+2y ≤ 10, x+y ≥ 6 और y ≥ 1 हों, तो (4,2) का स्थान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
The governing concept is feasibility in a system of linear inequalities: a point belongs to the solution region only when it satisfies every inequality, and equality places it on the corresponding boundary. Substitute (x,y)=(4,2). We obtain x+2y=4+2(2)=8≤10, x+y=4+2=6≥6, and y=2≥1, so the point is feasible. Because x+y is exactly 6, the point lies on the boundary line x+y=6. It is not on x+2y=10, since the value is 8 rather than 10, and it is not on y=1, since y=2. Thus it lies on exactly one listed boundary, so option C is correct. Option A wrongly excludes equality, B ignores the satisfied inequalities, and D uses the wrong boundary.इस प्रश्न में मुख्य अवधारणा रैखिक असमानताओं के निकाय का हल-क्षेत्र है। किसी बिंदु को हल-क्षेत्र में होने के लिए उसे प्रत्येक असमानता संतुष्ट करनी चाहिए, जबकि किसी असमानता में बराबरी होने पर बिंदु संबंधित सीमा-रेखा पर स्थित होता है। (x,y)=(4,2) रखने पर x+2y=4+2×2=8≤10, x+y=4+2=6≥6 तथा y=2≥1 मिलता है। इसलिए बिंदु हल-क्षेत्र में है। चूँकि x+y का मान ठीक 6 है, यह x+y=6 सीमा-रेखा पर है। x+2y का मान 8 है, इसलिए वह x+2y=10 पर नहीं है; और y=2 होने से y=1 की सीमा पर भी नहीं है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A बराबरी को गलत रूप से आंतरिक भाग मानता है, B संतुष्ट शर्तों की उपेक्षा करता है और D गलत सीमा बताता है।
What are the vertices of the solution region of x ≥ 1, y ≥ 0, x + 2y ≤ 7, and 2x + y ≤ 8?असमानताओं x ≥ 1, y ≥ 0, x + 2y ≤ 7 और 2x + y ≤ 8 के हल-क्षेत्र के शीर्ष कौन-से हैं?
Correct answer:सही उत्तर:C
The governing concept is the graphical solution of simultaneous linear inequalities: the feasible region is the common part of all four half-planes, and its vertices occur at boundary intersections that satisfy every inequality. On y = 0, the restrictions give x ≥ 1, x ≤ 7, and x ≤ 4, so the relevant endpoints are (1, 0) and (4, 0). The two slanting boundaries intersect by solving x + 2y = 7 and 2x + y = 8, which gives (x, y) = (3, 2). On x = 1, the first slant boundary gives y = 3, while the second permits y = 6; hence (1, 3) is the limiting feasible point. Therefore option C is correct. Option A incorrectly uses (7, 0), which violates 2x + y ≤ 8; the other options contain points outside the feasible region.यह प्रश्न दो चरों वाली रैखिक असमानताओं के ग्राफीय हल की अवधारणा पर आधारित है। हल-क्षेत्र वह सामान्य भाग है जो चारों अर्ध-समतलों में स्थित हो, इसलिए केवल सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद ही नहीं, बल्कि प्रत्येक बिंदु की सभी असमानताओं में जाँच भी आवश्यक है। y = 0 पर x ≥ 1, x ≤ 7 और x ≤ 4 मिलता है, इसलिए संगत छोर (1, 0) और (4, 0) हैं। x + 2y = 7 तथा 2x + y = 8 को हल करने पर (3, 2) मिलता है। x = 1 रखने पर पहली सीमा से y = 3 मिलता है; दूसरी सीमा y ≤ 6 देती है, इसलिए (1, 3) भी मान्य है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A का (7, 0), 2x + y ≤ 8 का उल्लंघन करता है, जबकि अन्य विकल्पों में ऐसे बिंदु हैं जो सभी शर्तें पूरी नहीं करते।
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