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Graphical solution of linear inequalities in two variables
In this Class 11 Mathematics topic from the chapter Linear Inequalities, students learn how to represent a linear inequality in two variables on the Cartesian plane. They study how to draw the boundary line, decide whether it is included or excluded, and identify the correct half-plane by testing a point. The topic also explains how multiple inequalities can be represented together to find their common feasible region, helping students interpret solutions visually and connect algebraic conditions with graphs.
Hard · Level 5 · 25 questions
Practice questions
01Choose the correct option about the boundary line and shaded part for (x-2y>4).असमानता (x-2y>4) की सीमा रेखा और छायांकित भाग के बारे में सही विकल्प चुनिए।
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:C. Dashed line and side opposite originटूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग
Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.( (0,0) ) रखने पर (0>4) असत्य है इसलिए विपरीत पक्ष लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती।
02In the first quadrant, what is the solution region of (3x+2y\geq 12)?प्रथम चतुर्थांश में (3x+2y\geq 12) का हल क्षेत्र कैसा होगा?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:D. Unbounded part above the line with boundaryरेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित
The origin gives (0\geq 12), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.मूल बिंदु से (0\geq 12) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए।
03What are the vertices of the solution region of the system (x+y\leq 5), (x-y\geq 1), (y\geq 0)?तंत्र (x+y\leq 5), (x-y\geq 1), (y\geq 0) के हल क्षेत्र के शीर्ष कौन-से हैं?
The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए।
04What is the correct type of boundary lines in the graph of (x+2y<8), (2x+y\leq 8)?तंत्र (x+2y<8), (2x+y\leq 8) के ग्राफ में सीमा रेखाओं का सही प्रकार क्या है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. First dashed and second solidपहली टूटी और दूसरी ठोस
The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).(x+2y<8) कठोर असमानता है इसलिए उसकी सीमा शामिल नहीं है। परीक्षा सुझाव: (<) और (>) के लिए टूटी रेखा बनाइए।
05What conclusion does the point ((2,3)) give for the system (x+2y\leq 8), (3x-y>1)?बिंदु ((2,3)) तंत्र (x+2y\leq 8), (3x-y>1) के लिए कौन-सा निष्कर्ष देता है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:C. It is in the solution region and on the first boundaryहल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है
Since (2+2\cdot3=8) and (3\cdot2-3=3>1), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.(2+2\cdot3=8) और (3\cdot2-3=3>1) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो।
06Rewrite (4x-y\leq 8) in terms of (y) and choose the correct side of the graph.असमानता (4x-y\leq 8) को (y) के रूप में लिखकर ग्राफ का सही पक्ष चुनिए।
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. (y\geq 4x-8), with boundary(y\geq 4x-8), सीमा सहित
When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.ऋणात्मक (y) को हटाते समय असमानता की दिशा बदलती है। परीक्षा सुझाव: ऋण से भाग देने पर संकेत पलटना न भूलें।
07If the shaded part is above the (x)-axis, to the right of the (y)-axis, and below (2x+y=10) with boundary, which system of inequalities represents it?यदि छायांकित भाग (x)-अक्ष के ऊपर, (y)-अक्ष के दाईं ओर और (2x+y=10) के नीचे सीमा सहित है, तो असमानताओं का तंत्र कौन-सा है?
The axis directions give (x\geq 0), (y\geq 0), and being below the line gives (2x+y\leq 10). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.अक्षों की दिशा से (x\geq 0), (y\geq 0) और रेखा के नीचे से (2x+y\leq 10) मिलता है। परीक्षा सुझाव: शब्दों को पहले अक्षीय असमानताओं में बदलें।
08What is the graphical solution of the system (x+y\leq 4), (x+y\geq 7)?तंत्र (x+y\leq 4), (x+y\geq 7) का ग्राफीय हल क्या है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. No common solutionकोई समान हल नहीं
The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.एक ही राशि (x+y) साथ-साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा सुझाव: समानांतर सीमा रेखाओं में खाली पट्टी पहचानें।
09What is the area of the triangle formed by (2x+3y\leq 12) in the first quadrant?प्रथम चतुर्थांश में (2x+3y\leq 12) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:C. (12)(12)
The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is (\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.कटान ((6,0)) और ((0,4)) हैं इसलिए क्षेत्रफल (\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12) है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश त्रिभुज में अक्षीय कटानों से क्षेत्रफल निकालें।
10What type of solution region is formed by (x+y<6), (x\geq 2), (y\geq 1)?तंत्र (x+y<6), (x\geq 2), (y\geq 1) का हल क्षेत्र कैसा है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Bounded but not closedसीमित लेकिन बंद नहीं
The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है।
11What will be the solution region of (x\leq 3), (y\leq 2), (x+y\geq 10)?तंत्र (x\leq 3), (y\leq 2), (x+y\geq 10) का हल क्षेत्र क्या होगा?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:D. Empty regionरिक्त क्षेत्र
From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so (x+y\geq 10) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.पहली दो शर्तों से (x+y\leq 5) अधिकतम हो सकता है इसलिए (x+y\geq 10) असंभव है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से पहले चरम सीमा सोचें।
12Which point satisfies both inequalities (2x-y<1), (x+y\geq 4)?कौन-सा बिंदु (2x-y<1), (x+y\geq 4) दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. ((1,3))((1,3))
At ((1,3)), both (2-3<1) and (1+3\geq 4) are true. Exam tip: Substitute options directly into the inequalities.((1,3)) पर (2-3<1) और (1+3\geq 4) दोनों सत्य हैं। परीक्षा सुझाव: विकल्पों को सीधे असमानताओं में रखकर जाँचें।
13Which side will be shaded for the inequality (3x-2y\leq 6)?असमानता (3x-2y\leq 6) के लिए कौन-सा पक्ष छायांकित होगा?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:C. Side containing origin with boundaryमूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित
Substituting the origin gives (0\leq 6), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.मूल बिंदु रखने पर (0\leq 6) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है।
14If the boundary line (x+y=5) is not included and the origin is not shaded, which inequality is correct?यदि सीमा रेखा (x+y=5) शामिल नहीं है और मूल बिंदु छायांकित नहीं है, तो सही असमानता कौन-सी है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. (x+y>5)(x+y>5)
The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).मूल बिंदु (x+y<5) को सत्य करता है इसलिए उसे हटाने के लिए (x+y>5) होगा। परीक्षा सुझाव: सीमा रहित होने पर केवल (<) या (>) चुनें।
15What are the vertices of the solution region of (x\geq 0), (y\geq 0), (x+2y\leq 6), (2x+y\leq 6)?तंत्र (x\geq 0), (y\geq 0), (x+2y\leq 6), (2x+y\leq 6) के हल क्षेत्र के शीर्ष कौन-से हैं?
The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें।
16Choose the correct statement for the first-quadrant graph of (x+3y\leq 9).असमानता (x+3y\leq 9) के प्रथम चतुर्थांश ग्राफ के लिए सही कथन चुनिए।
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is insideकटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है
Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें।
17Which inequality represents the open half-plane below the line (y=2x+1)?रेखा (y=2x+1) के नीचे सीमा रहित अर्ध-समतल को कौन-सी असमानता दर्शाती है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:C. (y<2x+1)(y<2x+1)
Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.नीचे का अर्थ (y) का मान रेखा से कम है और सीमा रहित होने से (<) आता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर-नीचे वाले प्रश्नों में (y) की तुलना सीधे करें।
18What type of graphical solution does (5x+2y\geq 10) have in the first quadrant?प्रथम चतुर्थांश में (5x+2y\geq 10) का ग्राफीय हल किस प्रकार का है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Unbounded region not containing the originअसीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता
The origin makes (0\geq 10) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With (\geq), the boundary line remains included.मूल बिंदु (0\geq 10) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: (\geq) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है।
19What are the vertices of the solution region of (x-y\leq 0), (x+y\leq 4), (x\geq 0)?तंत्र (x-y\leq 0), (x+y\leq 4), (x\geq 0) के हल क्षेत्र के शीर्ष कौन-से हैं?
The condition (x-y\leq 0) gives (y\geq x), and together with (x+y\leq 4) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.(x-y\leq 0) से (y\geq x) और (x+y\leq 4) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें।
20Why is the point ((3,2)) not valid for the system (x+2y<7), (2x+y\leq 8)?बिंदु ((3,2)) तंत्र (x+2y<7), (2x+y\leq 8) के लिए क्यों मान्य नहीं है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. Because equality occurs in (x+2y<7)क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है
At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.((3,2)) पर (x+2y=7) है लेकिन (x+2y<7) में सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में बराबरी वाले बिंदु हटा दें।
21The boundary line passes through ((4,0)) and ((0,2)), the line is included, and the origin is not a solution. Which inequality is correct?सीमा रेखा ((4,0)) और ((0,2)) से गुजरती है, रेखा शामिल है और मूल बिंदु हल नहीं है। सही असमानता कौन-सी है?
The line is (x+2y=4), and the origin makes (0\geq 4) false. Exam tip: If the line is included, use only (\leq) or (\geq).रेखा (x+2y=4) है और मूल बिंदु (0\geq 4) को असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: रेखा शामिल हो तो (\leq) या (\geq) ही लें।
22In the common first-quadrant region of (2x+y\leq 8), (x+2y\leq 8), what is the maximum value of (x+y)?प्रथम चतुर्थांश में (2x+y\leq 8), (x+2y\leq 8) के सामान्य क्षेत्र में (x+y) का अधिकतम मान क्या है?
The two boundary lines meet at ((\frac{8}{3},\frac{8}{3})), where (x+y=\frac{16}{3}). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.दोनों सीमा रेखाएँ ((\frac{8}{3},\frac{8}{3})) पर मिलती हैं और वहाँ (x+y=\frac{16}{3}) है। परीक्षा सुझाव: रैखिक मान का चरम प्रायः शीर्ष पर मिलता है।
23What is the common region for the system (y\geq x+1), (y\leq -x+5)?तंत्र (y\geq x+1), (y\leq -x+5) का सामान्य क्षेत्र किस रूप में है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. Unbounded region between the two lines with (x\leq 2)दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और (x\leq 2)
Both conditions require (x+1\leq -x+5), which gives (x\leq 2). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.दोनों शर्तों के लिए (x+1\leq -x+5) होना चाहिए जिससे (x\leq 2) मिलता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर और नीचे की रेखाओं की तुलना करें।
24With solid boundary (2x-5y=10), which inequality is correct if the side containing the origin is not taken?ठोस सीमा (2x-5y=10) के साथ मूल बिंदु वाला पक्ष नहीं लेना हो, तो सही असमानता कौन-सी है?
The origin satisfies (2x-5y\leq 10), so the opposite side is (2x-5y\geq 10). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.मूल बिंदु (2x-5y\leq 10) को सत्य करता है इसलिए विपरीत पक्ष (2x-5y\geq 10) होगा। परीक्षा सुझाव: ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल रखें।
25What are the vertices of the solution region of (3x+y\leq 6), (x-y\geq 0), (y\geq 0)?तंत्र (3x+y\leq 6), (x-y\geq 0), (y\geq 0) के हल क्षेत्र के शीर्ष कौन-से हैं?
The condition (x-y\geq 0) gives (y\leq x), and its intersection with (3x+y=6) is ((\frac{3}{2},\frac{3}{2})). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.(x-y\geq 0) से (y\leq x) और (3x+y=6) से प्रतिच्छेद ((\frac{3}{2},\frac{3}{2})) मिलता है। परीक्षा सुझाव: बदले हुए रूप में क्षेत्र पढ़ना आसान होता है।
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