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SubjectsMathematics
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Medium · Level 8 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Subtracting (2) from all parts gives (-6\leq2x<8) and then (-3\leq x<4). Keep open and closed signs correctly.सभी भागों से (2) घटाने पर (-6\leq2x<8) और फिर (-3\leq x<4) मिलता है। खुले और बंद चिन्ह को जस का तस रखें।
The governing concept is transforming a compound inequality while preserving strict and non-strict endpoints. Begin with 1 < (x − 2)/3 ≤ 4. Multiply all three parts by 3. Because 3 is positive, the signs remain unchanged: 3 < x − 2 ≤ 12. Add 2 throughout to get 5 < x ≤ 14. Thus option A is correct. Notice that 5 is excluded because the first original sign was <, whereas 14 is included because the second original sign was ≤. Option B reverses which endpoint is included, option C omits all values between 5 and 14, and option D gives the wrong direction and range. In interval notation the answer is (5, 14], which clearly reflects the open left endpoint and closed right endpoint.यह प्रश्न संयुक्त असमानता में धनात्मक गुणन करके सीमा-बिंदुओं को सही ढंग से बनाए रखने की अवधारणा पर आधारित है। शुरुआत 1 < (x − 2)/3 ≤ 4 से करें। तीनों पदों को 3 से गुणा करने पर, और 3 के धनात्मक होने के कारण चिन्हों को बिना बदले, 3 < x − 2 ≤ 12 मिलता है। अब तीनों पदों में 2 जोड़ने पर 5 < x ≤ 14 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। 5 को शामिल नहीं किया गया क्योंकि मूल बायाँ चिन्ह < था, जबकि 14 को शामिल किया गया क्योंकि मूल दायाँ चिन्ह ≤ था। विकल्प B में खुले और बंद सिरों की स्थिति बदल गई है, विकल्प C बीच के सभी मानों को छोड़ देता है और विकल्प D गलत दिशा तथा गलत सीमा बताता है। अंतराल रूप में उत्तर (5, 14] है, जो खुले बाएँ और बंद दाएँ छोर को स्पष्ट रूप से दर्शाता है।
To change an inequality into interval form, first isolate the variable and then show whether the endpoint is included. Starting with 4x+1≥9, subtracting 1 from both sides gives 4x≥8. Dividing by the positive number 4 does not reverse the inequality, so x≥2. Thus, all real numbers from 2 onward are included.
The interval for x≥2 is [2,∞). The square bracket at 2 shows that 2 itself is allowed because equality is included. Infinity always uses a parenthesis because it is not an actual number that can be included as an endpoint. Therefore, option A is correct. Option B would represent x>2 and would incorrectly exclude 2.असमानता को अंतराल रूप में लिखने के लिए पहले चर को अकेला करते हैं और फिर देखते हैं कि सीमा का मान शामिल है या नहीं। 4x+1≥9 में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर 4x≥8 मिलता है। अब धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता और x≥2 प्राप्त होता है।
इसलिए सभी वास्तविक संख्याएँ 2 से अनंत तक समाधान हैं और अंतराल [2,∞) होगा। 2 के पास वर्ग कोष्ठक इसलिए है क्योंकि बराबरी शामिल है, अर्थात x=2 मान्य है। अनंत के पास हमेशा सामान्य कोष्ठक लगाया जाता है, क्योंकि अनंत कोई वास्तविक अंतिम संख्या नहीं है। अतः विकल्प A सही है; विकल्प B में 2 को गलत ढंग से बाहर कर दिया गया है।
The inequality (x\leq-1) includes (-1) and all smaller real numbers. For real solutions writing (\mathbb{R}) is appropriate.(x\leq-1) में (-1) और उससे छोटी वास्तविक संख्याएं आती हैं। वास्तविक हल के लिए (\mathbb{R}) लिखना उचित है।
The inequality is 9−3x≤0. The important point is that the coefficient of x is negative. Subtracting 9 from both sides gives −3x≤−9. When both sides are divided by −3, the inequality sign must reverse because division by a negative number reverses order. This gives x≥3.
The solution set therefore contains 3 and every real number greater than 3. In set-builder form it is {x:x∈ℝ, x≥3}, which is exactly option A. The value x=3 checks the boundary because 9−3(3)=0, and 0≤0 is true. A choice using x≤3 would fail for a value such as x=4, so reversing the sign is essential.दी गई असमानता 9−3x≤0 है। इसमें x का गुणांक −3 है, इसलिए ऋणात्मक संख्या से भाग देने का नियम ध्यान रखना आवश्यक है। दोनों पक्षों से 9 घटाने पर −3x≤−9 मिलता है। अब दोनों पक्षों को −3 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है और x≥3 प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि 3 तथा 3 से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ समाधान हैं। समुच्चय-निर्माण रूप में समाधान {x:x∈ℝ, x≥3} है, इसलिए विकल्प A सही है। सीमा की जाँच के लिए x=3 रखने पर 9−3(3)=0 मिलता है और 0≤0 सत्य है। यदि x≤3 लिया जाए, तो x=4 रखने पर असमानता गलत हो जाएगी।
Solving the inequality gives \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\). Since \(x\) is an integer, the smallest possible value is 4. Option 3 is incorrect because \(3(3)-4=5\), which is less than 8. Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.असमानता को हल करने पर \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\) मिलता है। क्योंकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 4 है। विकल्प 3 गलत है, क्योंकि \(3(3)-4=5\), जो 8 से कम है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
Solving the inequality, \(5-2x>-7\) gives \(-2x>-12\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x<6\). Since \(x\) is an integer, the greatest integer less than 6 is 5. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.असमानता को हल करते हुए, \(5-2x>-7\) से \(-2x>-12\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<6\)। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें।
The solution is (x<3) so (x=2) satisfies it. Finding the general solution first is faster than testing all options.हल (x<3) है इसलिए (x=2) संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय पहले सामान्य हल निकालना तेज रहता है।
Solving \(7-3x\leq 1\) gives \(-3x\leq -6\). Dividing both sides by \(-3\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 2\). Therefore, \(x=2,3,4\) are solutions, whereas \(x=1\) is not. Exam tip: You can also substitute each option directly into the original inequality for a quick check.असमानता \(7-3x\leq 1\) को हल करने पर \(-3x\leq -6\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 2\)। अतः \(x=2,3,4\) हल हैं, जबकि \(x=1\) हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प की जाँच के लिए उसका मान मूल असमानता में रखने पर भी उत्तर शीघ्र मिल जाता है।
Dividing by a negative number reverses the order of an inequality. This is the most common mistake in linear inequalities.ऋण संख्या से भाग देने पर असमानता का क्रम उलट जाता है। यह रैखिक असमानताओं की सबसे सामान्य गलती है।
In \(-5x<20\), dividing both sides by \(-5\) reverses the inequality sign because the divisor is negative. Thus, \(x>\frac{20}{-5}=-4\), so option A is correct. Option B incorrectly keeps the original sign, while options C and D use the wrong sign for \(20\div(-5)\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.असमानता \(-5x<20\) में दोनों पक्षों को \(-5\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने का नियम लागू होता है, इसलिए असमानता का चिन्ह पलट जाता है: \(x>\frac{20}{-5}=-4\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह पलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में \(20\div(-5)=-4\) का चिन्ह गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय चिन्ह अवश्य पलटें।
Dividing both sides of \(-2x\geq10\) by \(-2\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\leq-5\). The value \(-5\) is included because the original relation was \(\geq\). Option B repeats the mistake of not reversing the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.असमिका \(-2x\geq10\) के दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग दिया जाता है, इसलिए असमिका का चिन्ह उलट जाता है: \(x\leq-5\)। \(-5\) शामिल है क्योंकि मूल चिन्ह \(\geq\) था। विकल्प B में चिन्ह न पलटने की वही गलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य उलटें।
In option A, \(3x+2<14\). Subtracting 2 from both sides gives \(3x<12\), and dividing by 3 gives \(x<4\). Option B gives \(x>4\), option C also gives \(x>4\), while option D gives \(x\geq4\). Therefore, only option A has the stated solution set. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.विकल्प A में \(3x+2<14\) है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(3x<12\) और 3 से भाग देने पर \(x<4\) मिलता है। विकल्प B से \(x>4\), विकल्प C से भी \(x>4\), तथा विकल्प D से \(x\geq4\) प्राप्त होता है। अतः केवल विकल्प A का हल समुच्चय दिया गया है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
In option A, \(4x+8\ge 0\) gives \(4x\ge -8\), and dividing by 4 gives \(x\ge -2\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option B gives \(x\le -2\), option C gives \(x<-2\), and option D gives \(x\ge 2\). Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.विकल्प A में \(4x+8\ge 0\) से \(4x\ge -8\) और, 4 से भाग देने पर, \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B का हल \(x\le -2\), विकल्प C का हल \(x<-2\), तथा विकल्प D का हल \(x\ge 2\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
The statement translates to the inequality \(x+6<20\). Subtracting 6 from both sides gives \(x<14\), so option A is correct. Option C is incorrect because when \(x=14\), the result is exactly 20, not less than 20. Exam tip: ‘less than’ indicates the strict inequality \(<\), whereas ‘less than or equal to’ indicates \(\leq\).प्रश्न के अनुसार असमानता \(x+6<20\) होगी। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x<14\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=14\) रखने पर \(x+6=20\) मिलता है, जो 20 से कम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम’ का अर्थ हमेशा सख्त असमानता \(<\) होता है, जबकि ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\leq\) प्रयोग किया जाता है।
“Not more than 28” means less than or equal to 28, so the inequality is \(4x\leq28\). Dividing both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality sign, giving \(x\leq7\). Option B is incorrect because it excludes \(x=7\), even though equality is allowed. Exam tip: “not more than” means \(\leq\).“28 से अधिक नहीं” का अर्थ 28 से कम या उसके बराबर होता है, इसलिए असमिका \(4x\leq28\) होगी। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता और \(x\leq7\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि 28 के बराबर होना मान्य है। परीक्षा-युक्ति: “not more than” या “अधिक नहीं” दिखे तो \(\leq\) का प्रयोग करें।
More than means strictly greater so (a>18). If the age is exactly (18), the condition is not satisfied.more than का अर्थ कठोर रूप से बड़ा है इसलिए (a>18) है। यदि exactly (18) हो तो यह शर्त पूरी नहीं होती।
Solving \(3x+2\leq 11\) gives \(3x\leq 9\), and hence \(x\leq 3\). Therefore, the greatest integer satisfying the inequality is \(3\). The nearby distractor 4 is incorrect because it gives \(3(4)+2=14>11\); 5 also fails. Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.असमानता \(3x+2\leq 11\) को हल करने पर \(3x\leq 9\), इसलिए \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इस सीमा को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक \(3\) है। विकल्प 4 और 5 असमानता को संतुष्ट नहीं करते, क्योंकि इनके लिए बायाँ पक्ष 14 या 17 होगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
Starting with \(5x-1>14\), add 1 to both sides to get \(5x>15\), and then divide by 5 to obtain \(x>3\). Therefore, the least natural number greater than 3 is 4. Since the inequality is strict, \(x=3\) is not included.दिए गए असमानता से \(5x-1>14\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(5x>15\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x>3\) प्राप्त होता है। इसलिए 3 से बड़ी सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 4 है। ध्यान रखें कि सख्त असमानता \(x>3\) में \(x=3\) शामिल नहीं होता।
Substituting \(x=2\) into \(kx+1\leq 9\) gives \(2k+1\leq 9\). Thus, \(2k\leq 8\), so \(k\leq 4\). Since the question also states \(k>0\), combining both conditions gives \(0<k\leq 4\). Option B is incorrect because values \(k>4\) do not satisfy the inequality. In such questions, first substitute the given value and then take the intersection of all conditions.असमानता \(kx+1\leq 9\) में \(x=2\) रखने पर \(2k+1\leq 9\) प्राप्त होता है। अतः \(2k\leq 8\), इसलिए \(k\leq 4\)। प्रश्न में \(k>0\) भी दिया गया है, इसलिए दोनों शर्तों को मिलाकर \(0<k\leq 4\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(k>4\) होने पर असमानता संतुष्ट नहीं होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें और अंत में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें।
Solving \(x+2<k\) for \(x\) gives \(x<k-2\). Comparing this with the given solution \(x<7\), we get \(k-2=7\), so \(k=9\). The value 7 is the boundary of the solution set, not the value of \(k\). Exam tip: first isolate the variable and then compare the resulting boundary values.असमानता \(x+2<k\) को \(x\) के लिए हल करने पर \(x<k-2\) प्राप्त होता है। दिए गए हल \(x<7\) से तुलना करने पर \(k-2=7\), अतः \(k=9\)। विकल्प 7 केवल हल की सीमा को दर्शाता है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा युक्ति: असमानता को पहले उसी चर के रूप में लिखें और फिर सीमाओं की तुलना करें।
The governing concept is solving an inequality by simplifying both sides and identifying whether the variable remains. For option A, subtracting 2x from both sides gives 3 < 5. This statement is true independently of x, so every real number satisfies the original inequality. In option B, cancellation gives 5 < 3, which is false for every x. In option C, subtracting x gives 1 < -1, also always false. In option D, subtracting 3x gives 0 > 1, which is false. Therefore only option A represents an inequality with the solution set all real numbers. The result is an identity-type inequality rather than a condition restricting x.इस प्रश्न में दोनों पक्षों को सरल करके यह देखना है कि चर x बचता है या नहीं। विकल्प A में दोनों पक्षों से 2x घटाने पर 3 < 5 मिलता है। यह कथन सदैव सत्य है और x के मान पर निर्भर नहीं करता, इसलिए प्रत्येक वास्तविक x इसका हल है। विकल्प B में सरलीकरण से 5 < 3 मिलता है, जो सदैव असत्य है। विकल्प C में x घटाने पर 1 < -1 प्राप्त होता है और विकल्प D में 3x घटाने पर 0 > 1 मिलता है; दोनों कथन असत्य हैं। अतः केवल विकल्प A का हल-समुच्चय सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। चर के समाप्त होने पर बची हुई संख्यात्मक असमानता की सत्यता जाँचना आवश्यक है।
Expanding the brackets gives \(2x+6-x\geq10\), which simplifies to \(x+6\geq10\). Subtracting 6 from both sides yields \(x\geq4\), so option A is correct. Option B has the inequality direction reversed. Remember that the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.कोष्ठक खोलने पर \(2x+6-x\geq10\), अर्थात् \(x+6\geq10\) मिलता है। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x\geq4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा में ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है।
Multiplying by (6) gives (3(x+4)-2(x-2)<30). Simplifying gives (x+16<30), so the correct result is (x<14).(6) से गुणा करने पर (3(x+4)-2(x-2)<30) मिलता है। सरल करने पर (x+16<30) से (x<14) नहीं बल्कि (x<14) आता है।
The direct answer is A: x≥13/2. Start with (2x−5)/4+1≥3. Subtract 1 from both sides: (2x−5)/4≥2. Multiply both sides by 4. Since 4 is positive, the inequality sign stays the same: 2x−5≥8. Add 5: 2x≥13. Divide by 2, again positive, so x≥13/2. Option A is correct and includes equality because the original sign is ≥. Option B, x≤13/2, reverses the direction without a valid reason; division was by positive 2. Option C, x≥7/2, comes from an arithmetic error, usually forgetting that 5 must be added after multiplying. Option D, x≤7/2, has both the wrong boundary and wrong direction. A quick check with x=13/2 gives left side 3, so equality is accepted. A value smaller than 13/2, such as x=6, gives a value below 3 and fails. Memory cue: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.सीधा उत्तर A है: x≥13/2। पहले असमानता लें: (2x−5)/4+1≥3। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर (2x−5)/4≥2 मिलता है। अब दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें। 4 धनात्मक है, इसलिए चिन्ह नहीं बदलेगा: 2x−5≥8। दोनों ओर 5 जोड़ने पर 2x≥13 और 2 से भाग देने पर x≥13/2 मिलता है। 2 भी धनात्मक है, इसलिए चिन्ह फिर नहीं बदलेगा। विकल्प A सही है और बराबरी को शामिल करता है, क्योंकि मूल चिन्ह ≥ है। विकल्प B में दिशा बिना कारण उलट दी गई है; धनात्मक संख्या से भाग देने पर ऐसा नहीं होता। विकल्प C में 7/2 गलत सीमा है, जो सामान्यतः 5 को ठीक से जोड़ने की भूल से आती है। विकल्प D में सीमा और दिशा दोनों गलत हैं। जाँच के लिए x=13/2 रखने पर बायाँ पक्ष ठीक 3 आता है, इसलिए यह मान स्वीकार है। याद रखें: असमानता का चिन्ह केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है।
