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SubjectsMathematics
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Medium · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Subtracting 5x and adding 4 gives 4x ≤ 16. Dividing by 4 gives x ≤ 4, so the interval is (−∞, 4], including 4.5x घटाकर और 4 जोड़कर 4x ≤ 16 मिलता है। 4 से भाग देने पर x ≤ 4 प्राप्त होता है। इसलिए अंतराल (−∞, 4] है, जिसमें 4 शामिल है।
From −4x − 1 < 11, we get −4x < 12. Dividing both sides by −4 reverses the inequality sign, giving x > −3. Since the inequality is strict, −3 is not included, so the interval is (−3, ∞). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.−4x − 1 < 11 से −4x < 12 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को −4 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए x > −3। चूँकि यह सख्त असमानता है, −3 शामिल नहीं होगा; अतः अंतराल (−3, ∞) है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें।
Starting with \(5x+2\ge 27\), subtracting 2 from both sides gives \(5x\ge 25\). Dividing by 5 gives \(x\ge 5\); the inequality sign remains unchanged because 5 is positive. Therefore, \(x=5\) is correct as it is the boundary value. The closest distractor, \(x=4\), gives \(22\ge 27\), which is false. Exam tip: the inequality sign reverses only when dividing or multiplying by a negative number.असमानता \(5x+2\ge 27\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(5x\ge 25\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है, क्योंकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः \(x=5\) सीमा मान होने के कारण सही है। \(x=4\) रखने पर \(22\ge 27\) मिलता है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
From (-2x<-14), we get (x>7). Since the boundary (7) is not included, none of the given values should be correct.( -2x<-14) से (x>7) नहीं, बल्कि (x>7) मिलता है। विकल्पों में सीमा (7) शामिल नहीं है, इसलिए कोई दिए गए मानों में सही नहीं होना चाहिए।
Rearranging gives \(-2x\leq -14\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 7\). Of the listed values, only \(x=7\) satisfies this, and substituting it gives \(20-14=6\). Therefore, option C is correct.असमानता को व्यवस्थित करने पर \(-2x\leq -14\) मिलता है। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 7\)। दिए गए मानों में केवल \(x=7\) यह शर्त पूरी करता है; इसे रखने पर \(20-14=6\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है।
The direct answer is B: all real values of x. An inequality compares two expressions. Here, subtracting 8x from both sides is allowed because the same quantity is removed from both sides, so the inequality sign does not change: 8x+3>8x−10 becomes 3>−10. This statement is always true because 3 is greater than −10, whatever real number x may be. Therefore every real number satisfies the inequality. Option A, no solution, is wrong because the reduced statement is true, not false. Option B is correct because x disappears and no restriction remains. Option C, x>3, is wrong because values such as x=0 also work. Option D, x<−10, is wrong because values such as x=5 also work. The key exam idea is that identical variable terms on both sides cancel. Memory cue: if the variable disappears and the remaining statement is true, all real numbers are solutions; if it is false, there is no solution.सीधा उत्तर B है: x के सभी वास्तविक मान। असमानता में दो राशियों की तुलना की जाती है। यहाँ दोनों पक्षों से 8x घटाना उचित है, क्योंकि एक ही राशि दोनों पक्षों से घटाने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। अतः 8x+3>8x−10 से 3>−10 प्राप्त होता है। यह कथन हमेशा सत्य है, क्योंकि 3, −10 से बड़ा है और इसमें x का कोई प्रभाव नहीं बचता। इसलिए हर वास्तविक संख्या इस असमानता को संतुष्ट करती है। विकल्प A, कोई हल नहीं, गलत है क्योंकि बचा हुआ कथन सत्य है, असत्य नहीं। विकल्प B सही है क्योंकि x समाप्त हो जाता है और कोई सीमा नहीं बचती। विकल्प C, x>3, गलत है; x=0 भी असमानता को सत्य बनाता है। विकल्प D, x<−10, भी गलत है; x=5 भी काम करता है। मुख्य विचार यह है कि दोनों ओर समान चर-पद होने पर वे कट जाते हैं। याद रखें: चर हटने के बाद कथन सत्य हो तो सभी वास्तविक मान हल होते हैं; कथन असत्य हो तो कोई हल नहीं होता।
Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(-6 \ge 2\\), which is false. Therefore, no real number satisfies the inequality, so the solution set is empty. Options B and D incorrectly give bounds for \\(x\\), even though all \\(x\\)-terms cancel. Exam tip: after simplifying an inequality, a false statement means there is no solution.दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(-6 \ge 2\\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या इस असमानता को संतुष्ट नहीं करती और हल-समुच्चय रिक्त है। विकल्प B और D में \\(x\\) के लिए सीमा बताई गई है, जबकि यहाँ \\(x\\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान पदों को घटाने के बाद यदि असत्य कथन मिले, तो असमानता का कोई हल नहीं होता।
Multiplying or dividing by a negative number reverses order, so the sign flips. For example, \(-2x<6\Rightarrow x>-3\). Adding or subtracting the same number does not change it. Exam tip: check for a negative multiplier before writing the final inequality.ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर क्रम उलटता है, इसलिए चिह्न बदलता है। उदाहरण: \(-2x<6\Rightarrow x>-3\)। समान संख्या जोड़ने-घटाने से चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ऋण चिह्न दिखते ही चिह्न पलटने की जाँच करें।
From \(ax+4>10\), we first obtain \(ax>6\). Since \(a<0\), dividing both sides by \(a\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{6}{a}\). Option B ignores this sign reversal, while options C and D incorrectly include equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.पहले \(ax+4>10\) से \(ax>6\) प्राप्त होता है। अब \(a<0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और \(x<\frac{6}{a}\) मिलता है। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिह्न जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने या गुणा करने पर असमिका का चिह्न अवश्य बदलें।
Let the number be x. Six times the number is written as 6x, and ‘greater than 42’ requires the symbol >. Therefore, the correct inequality is 6x>42. Options A and D represent adding or subtracting 6, not multiplying by 6, while option C means less than 42. In exams, translate ‘times’ as multiplication and ‘greater than’ as >.किसी संख्या को x मानने पर उसका 6 गुना 6x होगा। ‘42 से अधिक’ का अर्थ 42 से बड़ा है, इसलिए असमानता का चिह्न > लगेगा और सही रूप 6x>42 होगा। विकल्प A और D में संख्या में 6 जोड़ा या घटाया गया है, जबकि विकल्प C में ‘कम’ का अर्थ निकलता है। परीक्षा में ‘गुना’ को गुणा और ‘अधिक’ को > के रूप में लिखना याद रखें।
A linear inequality in one variable usually gives an interval or a ray on the number line. For example, \(x>3\) contains every real number greater than 3. Two disconnected intervals are more typical of quadratic inequalities. Exam tip: an open circle means the boundary value is excluded.एक चर वाली रैखिक असमिका का हल सामान्यतः संख्या रेखा पर किसी अंतराल या एक दिशा में फैली किरण होता है। जैसे \(x>3\) में 3 से बड़े सभी वास्तविक अंक आते हैं। दो असंबद्ध अंतराल प्रायः द्विघात या अन्य असमिकाओं में मिलते हैं। परीक्षा टिप: खुले वृत्त का अर्थ है कि सीमा शामिल नहीं है।
‘At most 35’ means the result is less than or equal to 35, so the inequality is \(4x+3\leq 35\). Subtracting 3 from both sides gives \(4x\leq 32\), and dividing by the positive number 4 gives \(x\leq 8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: use \(\leq\) for ‘at most’ and \(\geq\) for ‘at least’.‘अधिकतम 35’ का अर्थ है कि परिणाम 35 से कम या उसके बराबर होगा, इसलिए असमिका \(4x+3\leq 35\) है। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\leq 32\) और 4 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\leq\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\geq\) का प्रयोग करें।
Let the number of pens be x. The remaining money is \(120-15x\), and the saving condition gives \(120-15x\geq 30\). Thus, \(-15x\geq -90\), so \(x\leq 6\). Since the number of pens must be a whole number, the maximum is 6. Buying 7 pens would leave only 15 rupees, which is less than the required 30 rupees. Exam tip: When an inequality is divided by a negative number, its sign is reversed.यदि पेन की संख्या को x मानें, तो बची हुई राशि 120-15x होगी। शर्त के अनुसार, \(120-15x\geq 30\), इसलिए \(-15x\geq -90\) और \(x\leq 6\)। पेन की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, अतः अधिकतम 6 पेन खरीदे जा सकते हैं। 7 पेन खरीदने पर केवल 15 रुपये बचेंगे, जो 30 रुपये से कम हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है।
Let \(x\) be the number of additional passengers. The capacity condition is \(x+19\leq52\), so \(x\leq33\). Therefore, at most 33 more passengers can sit. Option 34 is incorrect because it would make the total 53 passengers, exceeding the capacity of the bus. In an exam, remember that “at most” translates to \(\leq\).मान लीजिए कि और बैठने वाले यात्रियों की संख्या \(x\) है। बस की क्षमता के अनुसार \(x+19\leq52\), इसलिए \(x\leq33\)। अतः अधिकतम 33 और यात्री बैठ सकते हैं। विकल्प 34 गलत है, क्योंकि तब कुल यात्री 53 हो जाएंगे, जो बस की क्षमता से अधिक है। परीक्षा में “अधिकतम” या “at most” का अर्थ \(\leq\) लगाना याद रखें।
Expanding the brackets gives \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\). Thus, \(4x-17\geq 7\), so \(4x\geq 24\) and \(x\geq 6\). Option A reverses the inequality, while options C and D incorrectly include or exclude the boundary value 6. Exam tip: When dividing an inequality by a positive number, its sign does not reverse.कोष्ठक खोलने पर \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\) मिलता है। अतः \(4x-17\geq 7\), इसलिए \(4x\geq 24\) और \(x\geq 6\)। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में 6 को शामिल करने या न करने की शर्त गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
Expanding the brackets gives \\(10-2x+3>3x-12\\), or \\(13-2x>3x-12\\). Adding \\(12\\) to both sides gives \\(25>5x\\); dividing by the positive number 5 yields \\(x<5\\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Option B gives the opposite direction, while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.कोष्ठक खोलने पर \\(10-2x+3>3x-12\\), अर्थात् \\(13-2x>3x-12\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(12\\) जोड़ने पर \\(25>5x\\) और 5 से भाग देने पर \\(x<5\\) प्राप्त होता है। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B गलत दिशा दर्शाता है, जबकि C और D में बराबर होने की स्थिति अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है।
Using the common denominator 12, we get \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), so \(\frac{5x}{12}\leq 5\). Multiplying both sides by the positive number \(\frac{12}{5}\) does not reverse the inequality, giving \(x\leq 12\). Hence, option B is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=12\), even though equality is included in the original inequality. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its direction unchanged.हर पद का समान हर 12 करने पर \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), अर्थात् \(\frac{5x}{12}\leq 5\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(\frac{12}{5}\) से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 12\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(x=12\) को छोड़ दिया गया है, जबकि मूल असमानता में बराबरी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
The least common denominator is 6. Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+6>2x+54\). Thus, \(3x>48\), so \(x>16\). Therefore, option A is correct. The distractor \(x\geq16\) is incorrect because substituting \(x=16\) makes both sides equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: when an inequality is multiplied or divided by a negative number, its sign must be reversed.हर का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(5x+6>2x+54\)। अतः \(3x>48\), इसलिए \(x>16\)। इसीलिए विकल्प A सही है; \(x\geq16\) गलत है क्योंकि \(x=16\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जबकि यहाँ सख्त असमानता है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है।
Multiplying by (2) gives (-10\leq x-1<8). Adding (1) gives (-9\leq x<9), so check endpoints carefully.(2) से गुणा करने पर (-10\leq x-1<8) मिलता है। फिर (1) जोड़कर (-9\leq x<9) नहीं, सही (-9\leq x<9) होगा।
In the inequality \(-3\le x<4\), \(-3\) is included because the symbol is \(\le\), while \(4\) is excluded because the symbol is \(<\). Thus, all integers from \(-3\) through \(3\) are solutions, so option C is correct. Option B is incorrect because it includes \(4\). In an exam, remember that a closed endpoint is included and an open endpoint is excluded.असमानता \(-3\le x<4\) में \(-3\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\le\) का चिन्ह है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) का चिन्ह है। इसलिए \(-3\) से \(3\) तक के सभी पूर्णांक हल हैं, अर्थात विकल्प C सही है। विकल्प B में \(4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा में बंद सिरा शामिल और खुला सिरा बहिष्कृत करना याद रखें।
From \(3x+4<19\), we get \(3x<15\), so \(x<5\). Since positive integers start at 1, the possible values are \(x=1,2,3,4\), giving 4 solutions. The distractor 5 is incorrect because \(x=5\) gives \(3(5)+4=19\), which does not satisfy the strict inequality \(<19\). Exam tip: the boundary value is excluded in a strict inequality.\(3x+4<19\) से \(3x<15\), अतः \(x<5\) मिलता है। धनात्मक पूर्णांक 1 से शुरू होते हैं, इसलिए संभव मान \(x=1,2,3,4\) हैं और कुल 4 हल हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(3(5)+4=19\) मिलता है, जबकि असमानता सख्त रूप से \(<19\) है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता में सीमा का मान शामिल नहीं किया जाता।
Simplifying \\(11x+6\geq 7x+34\\) gives \\(4x\geq 28\\), so \\(x\geq 7\\). Therefore, the least integer solution is 7. The value 6 is not allowed because it does not satisfy the inequality, while 8 and 9 are valid solutions but are not the least. In an exam, check the smallest integer at the boundary after solving the inequality.असमानता को सरल करने पर \\(11x+6\geq 7x+34\\) से \\(4x\geq 28\\), अतः \\(x\geq 7\\) प्राप्त होता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल 7 है। 6 गलत है क्योंकि वह \\(x\geq 7\\) को संतुष्ट नहीं करता, जबकि 8 और 9 सही हल तो हैं, पर सबसे छोटे नहीं। परीक्षा में असमानता हल करने के बाद सबसे छोटी पूर्णांक सीमा अवश्य जाँचें।
Solving the inequality gives \(2x-5\leq 9\), so \(2x\leq 14\) and therefore \(x\leq 7\). Thus, \(x=7\) belongs to the solution set because \(\leq\) means ‘less than or equal to’, which includes equality. Option A is incorrect because \(x<7\) excludes \(x=7\). Exam tip: The boundary value is included when the inequality sign is \(\leq\) or \(\geq\).असमानता को हल करने पर \(2x-5\leq 9\) से \(2x\leq 14\) और फिर \(x\leq 7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=7\) हल-समुच्चय में शामिल है, क्योंकि \(\leq\) का अर्थ ‘छोटा या बराबर’ होता है और इसमें बराबरी का मान भी स्वीकार किया जाता है। विकल्प A गलत है, क्योंकि \(x<7\) में \(x=7\) शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है।
Solving the inequality gives 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4. Hence, the boundary point of the solution set is 4. Since the inequality is strict (>), 4 is not included in the solution set and is represented by an open point. Exam tip: After isolating x, the resulting value is the boundary point; check whether the inequality sign is strict or inclusive to decide whether the point is excluded or included.असमानता को हल करने पर 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4 प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय का सीमा बिंदु 4 है। चूँकि असमानता सख्त (> ) है, इसलिए 4 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता और इसे खुले बिंदु से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: x के गुणांक से भाग देने के बाद प्राप्त वह मान सीमा बिंदु होता है जहाँ असमानता का चिह्न बदलकर बराबरी पर विचार किया जाता है।
Subtracting 7 from both sides gives \(-2x\geq -16\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\leq 8\). Therefore, all numbers less than or equal to 8 are solutions, giving the interval \((-\infty,8]\). Option B excludes 8, so it is incorrect. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(-2x\geq -16\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\leq 8\)। अतः 8 सहित सभी छोटी संख्याएँ हल हैं और अंतराल \((-\infty,8]\) होगा। विकल्प B में 8 को शामिल नहीं किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें।
