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SubjectsMathematics
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Hard · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Multiplying by (18) gives (3(4x-5)+2(x+2)<9(3x+1)), so (x>\frac{1}{20}). After clearing denominators, simplify both sides carefully.हर (18) से गुणा करने पर (3(4x-5)+2(x+2)<9(3x+1)), इसलिए (x>\frac{1}{20})। परीक्षा में हर हटाने के बाद दोनों पक्षों को ध्यान से सरल करें।
Given \(3x-7<11\), add 7 to both sides to get \(3x<18\). Dividing both sides by the positive number 3 does not reverse the inequality sign, so \(x<6\). The option \(x\leq 6\) is incorrect because equality is not included in the original inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दिया है: \(3x-7<11\)। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(3x<18\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x<6\) प्राप्त होता है। \(x\leq 6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है।
Subtracting 5 from both sides gives \(-2x\ge 12\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, so \(x\le -6\). Option C is a close distractor, but \(x=-6\) is included because the original inequality has \(\ge\). Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.पहले दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-2x\ge 12\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\le -6\)। विकल्प C निकटतम भ्रमक है, लेकिन मूल असमानता में \(\ge\) होने के कारण \(x=-6\) भी समाधान है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य उलटें।
Multiplying both sides of \(\frac{x-3}{4}+2>\frac{x}{2}\) by 4 gives \(x-3+8>2x\). Thus, \(x+5>2x\), which gives \(5>x\), or \(x<5\). \(x\leq 5\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=5\), both sides are equal. Exam tip: Multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.असमानता \(\frac{x-3}{4}+2>\frac{x}{2}\) के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर \(x-3+8>2x\) मिलता है। अर्थात \(x+5>2x\), जिससे \(5>x\) या \(x<5\) प्राप्त होता है। \(x\leq 5\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=5\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
Adding \(1.2\) to both sides gives \(0.3x\le 1.8\). Dividing both sides by the positive number \(0.3\) does not reverse the inequality sign, so \(x\le 6\). The close distractor \(x<6\) is incorrect because \(x=6\) also satisfies the original inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.असमानता में दोनों पक्षों में \(1.2\) जोड़ने पर \(0.3x\le 1.8\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(0.3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le 6\) प्राप्त होता है। \(x<6\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=6\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है।
Given \(-4(2x-1)<3(1-x)+5\), expanding the brackets gives \(-8x+4<8-3x\). Hence, \(-4<5x\), so \(x>-\frac{4}{5}\). Option B has the inequality in the wrong direction, while option C incorrectly includes equality; the original inequality is strict. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दिया है: \(-4(2x-1)<3(1-x)+5\)। कोष्ठक खोलने पर \(-8x+4<8-3x\) मिलता है। अतः \(-4<5x\), इसलिए \(x>-\frac{4}{5}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि C में बराबरी शामिल है, जो मूल सख्त असमानता में नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है।
Given \(7-(3x+2)\ge 2x-10\), opening the bracket gives \(7-3x-2\ge 2x-10\), or \(5-3x\ge 2x-10\). Adding \(3x\) and \(10\) to both sides gives \(15\ge 5x\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign, so \(x\le 3\). The closest distractor, \(x<3\), is incorrect because \(x=3\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.दिया है: \(7-(3x+2)\ge 2x-10\)। कोष्ठक खोलने पर \(7-3x-2\ge 2x-10\), अर्थात \(5-3x\ge 2x-10\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3x\) और \(10\) जोड़ने पर \(15\ge 5x\) होता है। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le 3\) प्राप्त होता है। \(x<3\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है।
Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(2(2x+1)\le 3(x-4)\), so \(4x+2\le 3x-12\). Subtracting \(3x\) and 2 from both sides gives \(x\le -14\). Hence, option A is correct. The closest distractor, \(x<-14\), excludes \(x=-14\), although this value satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(2x+1)\le 3(x-4)\), अर्थात \(4x+2\le 3x-12\)। दोनों पक्षों से \(3x\) और 2 घटाने पर \(x\le -14\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(x<-14\) निकटतम विकल्प है, पर इसमें \(x=-14\) शामिल नहीं है, जबकि वह असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है।
Simplify the left-hand side: \(2(3x-5)-4(x+1)=6x-10-4x-4=2x-14\). Thus, \(2x-14>8\), so \(2x>22\), giving \(x>11\). \(x\geq11\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=11\), both sides become equal. Exam tip: while expanding \(-4(x+1)\), apply the negative factor to both terms.असमानता के बाएँ पक्ष को सरल करें: \(2(3x-5)-4(x+1)=6x-10-4x-4=2x-14\)। अतः \(2x-14>8\), यानी \(2x>22\), इसलिए \(x>11\)। \(x\geq11\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर \(>\) है और \(x=11\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-4(x+1)\) के दोनों पदों के चिह्न बदलना न भूलें।
Multiplying both sides by the positive number \(14\) does not change the inequality sign: \(2(5x-2)<3x+8\). Thus, \(10x-4<3x+8\), so \(7x<12\) and hence \(x<\frac{12}{7}\). The option \(x\leq\frac{12}{7}\) is incorrect because at \(x=\frac{12}{7}\), both sides are equal, whereas the question has a strict \(<\) inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(14\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(5x-2)<3x+8\)। अतः \(10x-4<3x+8\), इसलिए \(7x<12\) और \(x<\frac{12}{7}\)। विकल्प \(x\leq\frac{12}{7}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{12}{7}\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में कठोर असमानता \(<\) है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है।
Multiplying both sides by 15 gives \(-5x+60\le 6x-15\). Moving 60 and \(-5x\) to the other sides gives \(75\le 11x\). Since 11 is positive, dividing by it does not reverse the inequality sign, so \(x\ge \frac{75}{11}\). Option C excludes equality, but the original inequality uses \(\le\). Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर \(-5x+60\le 6x-15\) मिलता है। 60 और \(-5x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(75\le 11x\) प्राप्त होता है। चूँकि 11 धनात्मक है, इसलिए भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge \frac{75}{11}\) मिलता है। विकल्प C में बराबरी शामिल नहीं है, जबकि मूल असमानता में \(\le\) है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता।
Simplifying the right-hand side gives \(2(1-x)+15=17-2x\). Thus, \(4x-9\ge 17-2x\), so \(6x\ge 26\) and hence \(x\ge \frac{13}{3}\). The option \(x>\frac{13}{3}\) is incorrect because \(x=\frac{13}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(1-x)+15=17-2x\) मिलता है। अतः \(4x-9\ge 17-2x\), इसलिए \(6x\ge 26\) और \(x\ge \frac{13}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{13}{3}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{13}{3}\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है।
Using the common denominator 4, \(\frac{3x+5}{4}-\frac{x-1}{2}=\frac{3x+5-2(x-1)}{4}=\frac{x+7}{4}\). Hence, \(\frac{x+7}{4}\ge 6\Rightarrow x+7\ge24\Rightarrow x\ge17\). Option \(x>17\) is the closest distractor, but \(x=17\) also satisfies the inequality. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 4 है। अतः \(\frac{3x+5}{4}-\frac{x-1}{2}=\frac{3x+5-2(x-1)}{4}=\frac{x+7}{4}\)। इसलिए \(\frac{x+7}{4}\ge 6\Rightarrow x+7\ge24\Rightarrow x\ge17\)। \(x>17\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=17\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(4-x>2(x+2)\). Thus, \(4-x>2x+4\), giving \(-3x>0\). On dividing by the negative number \(-3\), the inequality sign reverses, so \(x<0\). The closest distractor, \(x\leq0\), is incorrect because at \(x=0\) both sides are equal, whereas the question uses \(>\). Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(4-x>2(x+2)\)। अतः \(4-x>2x+4\), जिससे \(-3x>0\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या \(-3\) से भाग देने पर चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<0\)। \(x\leq0\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में \(>\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें।
Subtracting \(0.6x\) and \(2.4\) from both sides gives \(0.9x<-5.4\). Since \(0.9\) is positive, dividing both sides by \(0.9\) does not reverse the inequality sign, so \(x<-6\). The option \(x\le -6\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दिए गए असमानता में दोनों पक्षों से \(0.6x\) और \(2.4\) घटाने पर \(0.9x<-5.4\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(0.9\) धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को \(0.9\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x<-6\)। \(x\le -6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है।
Multiply both sides by the positive number 10 to remove the fractions: \(20x-6\ge 5x+9\). Hence, \(15x\ge 15\), so \(x\ge 1\). The closest distractor, \(x>1\), is incorrect because at \(x=1\) both sides are equal, so 1 is included in the solution. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.हरों को हटाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करें: \(20x-6\ge 5x+9\)। अतः \(15x\ge 15\), इसलिए \(x\ge 1\)। \(x>1\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं; इसलिए 1 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
On expanding the brackets, \(6-5(x-2)=16-5x\) and \(3(2-x)=6-3x\). Therefore, \(16-5x\le 6-3x\), which gives \(10\le 2x\). Since 2 is positive, dividing by 2 does not reverse the inequality sign, so \(x\ge 5\). The option \(x\le 5\) is incorrect because an inequality reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: after expanding brackets, move like terms carefully and check whether any operation involves a negative number.कोष्ठक खोलने पर \(6-5(x-2)=16-5x\) और \(3(2-x)=6-3x\) मिलता है। अतः \(16-5x\le 6-3x\), यानी \(10\le 2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। \(x\le 5\) गलत है, क्योंकि चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान पदों को अलग-अलग पक्षों में ले जाकर चिह्न पर विशेष ध्यान दें।
The left side is (5x-10), and (5x-10\le 5x-7) is always true. Hence the answer should be all real numbers.बायाँ पक्ष (5x-10) है और असमानता (5x-10\le 5x-7) हमेशा सत्य है। इसलिए सही उत्तर सभी वास्तविक संख्याएँ होना चाहिए।
Expanding the left-hand side gives \(4(2x+3)=8x+12\). Thus, the inequality becomes \(8x+12>8x+15\). Subtracting \(8x\) from both sides gives \(12>15\), which is false. Hence, the inequality is not true for any real value of \(x\), so there is no solution. Options such as \(x>3\) or \(x<3\) are incorrect because the variable terms cancel completely. Exam tip: When the coefficients of the variable are the same on both sides, cancel those terms first and compare the constants.बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(4(2x+3)=8x+12\) मिलता है। अतः असमानता \(8x+12>8x+15\) होगी। दोनों पक्षों से \(8x\) घटाने पर \(12>15\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और कोई हल नहीं है। \(x>3\) या \(x<3\) जैसे विकल्प गलत हैं, क्योंकि \(x\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा टिप: समान गुणांक वाले \(x\)-पदों को पहले दोनों पक्षों से घटाकर स्थिर पदों की तुलना करें।
Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(14-4x \le 3x+1\). Hence, \(13 \le 7x\), so \(x \ge \frac{13}{7}\). The option \(x>\frac{13}{7}\) is incorrect because at \(x=\frac{13}{7}\), both sides are equal, and \(\le\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(14-4x \le 3x+1\)। अब \(13 \le 7x\), इसलिए \(x \ge \frac{13}{7}\)। विकल्प \(x>\frac{13}{7}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{13}{7}\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं और \(\le\) में समानता शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है।
Simplifying the left side gives \(-3(x+2)+7=-3x+1\), and simplifying the right side gives \(2(4-x)-5=3-2x\). Thus, \(-3x+1\ge 3-2x\), which gives \(-x\ge 2\), and hence \(x\le -2\). The option \(x<-2\) is close, but at \(x=-2\) both sides are equal, so \(-2\) must be included. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide an inequality by a negative number.बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(-3(x+2)+7=-3x+1\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(4-x)-5=3-2x\) मिलता है। अतः \(-3x+1\ge 3-2x\), जिससे \(-x\ge 2\) और इसलिए \(x\le -2\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x<-2\) निकट है, लेकिन \(x=-2\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए \(-2\) भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है।
Write the second fraction with denominator 8: \(\frac{x+6}{8}-\frac{2(x-2)}{8}=\frac{10-x}{8}\). Therefore, \(\frac{10-x}{8}<1\Rightarrow 10-x<8\Rightarrow -x<-2\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x>2\). The option \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=2\), the left-hand side equals 1. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.दिए गए व्यंजक में दूसरा भिन्न हर 4 वाला है, इसलिए उसे हर 8 में लिखते हैं: \(\frac{x+6}{8}-\frac{2(x-2)}{8}=\frac{10-x}{8}\)। अतः \(\frac{10-x}{8}<1\Rightarrow 10-x<8\Rightarrow -x<-2\)। ऋणात्मक संख्या \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x>2\)। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=2\) पर बायाँ पक्ष 1 आता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें।
Given \(11-3x>2x+1\), subtracting \(1\) from both sides gives \(10-3x>2x\). Adding \(3x\) to both sides gives \(10>5x\), so \(x<2\). Hence, the interval-form solution is \(( -\infty, 2)\). Option C incorrectly includes \(2\); a strict inequality \(>\) does not include the endpoint. Exam tip: use an open bracket at an endpoint for strict inequalities \((<,>)\).दिया है: \(11-3x>2x+1\)। दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(10-3x>2x\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों में \(3x\) जोड़ने पर \(10>5x\), अर्थात \(x<2\)। इसलिए अंतराल रूप में हल \(( -\infty, 2)\) है। विकल्प C में \(2\) शामिल है, लेकिन मूल असमानता कठोर \(>\) है; इसलिए \(2\) को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: कठोर असमानताओं \((<,>)\) में अंतराल का सिरा हमेशा खुला कोष्ठक होता है।
Subtracting \(18\) from both sides and adding \(7x\) gives \(-5x<14\). On dividing by \(-5\), the inequality sign reverses, so \(x>-\frac{14}{5}\). The option \(x\geq-\frac{14}{5}\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=-\frac{14}{5}\), both sides become equal. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.असमानता में दोनों पक्षों से \(18\) घटाने और \(7x\) जोड़ने पर \(-5x<14\) मिलता है। अब \(-5\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-\frac{14}{5}\) होगा। विकल्प \(x\geq-\frac{14}{5}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=-\frac{14}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें।
Expanding the left side gives \(2.5(2x-1)=5x-2.5\), while the right side gives \(1.5(x+3)=1.5x+4.5\). Hence, \(5x-2.5\ge 1.5x+4.5\), so \(3.5x\ge 7\). Since \(3.5\) is positive, dividing both sides by it does not reverse the inequality sign, giving \(x\ge 2\). The closest distractor is \(x>2\), but \(x=2\) makes both sides equal, so it must be included. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2.5(2x-1)=5x-2.5\) और दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(1.5(x+3)=1.5x+4.5\) मिलता है। अतः \(5x-2.5\ge 1.5x+4.5\), यानी \(3.5x\ge 7\)। चूँकि \(3.5\) धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को इससे भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge 2\) मिलता है। \(x>2\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=2\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 2 भी शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है।
