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Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Hard · Level 5 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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(x\le 14)
(x>14)
(x\ge 14)
(x\ge 10)
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(x>12)
(x\le 12)
(x<8)
(x<12)
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([-4,8))
((-4,8])
((-4,8))
([-4,8])
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(x<-3) या (x\ge 5)
(-3\le x<5)
(-3<x\le 5)
(-3<x<5)
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x < −1 or x ≥ 3
−1 < x ≤ 3
−1 ≤ x < 3
−1 < x < 3
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(x\le -\frac{7}{5}) या (x>\frac{13}{5})
(-\frac{7}{5}<x\le \frac{13}{5})
(-\frac{7}{5}<x<\frac{13}{5})
(-\frac{7}{5}\le x<\frac{13}{5})
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(x\ge \frac{19}{7})
(x\le \frac{19}{7})
(x>\frac{19}{7})
(x\ge \frac{7}{19})
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(x\le -1)
(x\ge -1)
(x>-1)
(x\ge 1)
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(x>-\frac{15}{2})
(x\le -\frac{15}{2})
(x<-\frac{15}{2})
(x<\frac{15}{2})
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(x>12)
(x\le 12)
(x<6)
(x<12)
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(\varnothing)
(x\in \mathbb{R})
(x>0)
(x<0)
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(\varnothing)
(x\in \mathbb{R})
(x\le 1)
(x\ge -4)
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(x\le -2) या (x>4)
(-2\le x<4)
(-2<x<4)
(-2<x\le 4)
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([-5,\infty))
((-\infty,-5])
((-5,\infty))
((-\infty,-5))
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\(( -\infty, 6 )\)
\(( 6, \infty )\)
\([ 6, \infty )\)
\(( -\infty, 6 ]\)
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\(x=1\)
\(x=4\)
\(x=5\)
\(x=0\)
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4
6
3
5
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(x<\frac{11}{9})
(x>\frac{11}{9})
(x\ge \frac{11}{9})
(x>\frac{9}{11})
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(x\ge \frac{18}{5})
(x<\frac{18}{5})
(x\le \frac{18}{5})
(x\le \frac{5}{18})
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\(x<-15\)
\(x\ge -15\)
\(x>-3\)
\(x>-15\)
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(x\le -7)
(x\ge -7)
(x<-7)
(x\le 7)
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(x\le 17)
(x\ge 17)
(x>17)
(x\ge 5)
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(x>\frac{9}{2})
(x\le \frac{9}{2})
(x<\frac{9}{2})
(x<\frac{2}{9})
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(x\le 1)
(x>1)
(x\ge 2)
(x\ge 1)
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(8)
(7)
(9)
(6)
Question 1HardLevel 5
The breadth of a rectangle is ((x-2)) cm and length is (8) cm. If the perimeter is at least (40) cm, what is the solution for (x)?एक आयत की चौड़ाई ((x-2)) सेमी और लंबाई (8) सेमी है। यदि परिमाप कम से कम (40) सेमी है, तो (x) के लिए समाधान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
The perimeter of a rectangle is \\(2(\text{length}+\text{breadth})\\). Here the length is 8 cm and the breadth is \\(x-2\\) cm. The phrase “at least 40 cm” means the perimeter may be 40 or greater, so the inequality sign is \\(\ge\\), not a strict greater-than sign.
Substitution gives \\(2(8+x-2)\ge40\\), so \\(2(x+6)\ge40\\). Dividing by 2 gives \\(x+6\ge20\\), and subtracting 6 gives \\(x\ge14\\). Therefore, option C is correct. The breadth condition also requires \\(x-2>0\\), which is automatically satisfied by \\(x\ge14\\). Option D would be too weak because values from 10 to 14 do not meet the perimeter requirement.आयत का परिमाप \\(2(\text{लंबाई}+\text{चौड़ाई})\\) होता है। यहाँ लंबाई 8 सेमी और चौड़ाई \\(x-2\\) सेमी है। “कम से कम 40 सेमी” का अर्थ है कि परिमाप 40 या उससे अधिक हो सकता है, इसलिए \\(\ge\\) का चिन्ह लगाना होगा, केवल \(>\) नहीं।
मान रखने पर \\(2(8+x-2)\ge40\\), अर्थात \\(2(x+6)\ge40\\)। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \\(x+6\ge20\\), और 6 घटाने पर \\(x\ge14\\) मिलता है। अतः विकल्प C सही है। चौड़ाई धनात्मक होने की शर्त \\(x-2>0\\) भी इस उत्तर से पूरी होती है। विकल्प D बहुत कमजोर है, क्योंकि 10 से 14 के बीच के मान आवश्यक परिमाप नहीं देते।
An account has (500) rupees and (25x) rupees are spent. If the remaining amount must be more than (200) rupees, what is the solution for (x)?किसी खाते में (500) रुपये हैं और हर दिन (25x) रुपये खर्च होते हैं। यदि बची राशि (200) रुपये से अधिक रहनी चाहिए, तो (x) के लिए समाधान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:D
(500-25x>200) gives (-25x>-300), so (x<12). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.(500-25x>200) से (-25x>-300), इसलिए (x<12)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटें।
Find the solution set of (-1\le \frac{2x+5}{3}<7).द्वि-असमीका (-1\le \frac{2x+5}{3}<7) का समाधान समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
(-3\le 2x+5<21) gives (-8\le 2x<16), so ([-4,8)). Write open and closed endpoints correctly in interval form.(-3\le 2x+5<21) से (-8\le 2x<16), इसलिए ([-4,8))। परीक्षा में अंतराल रूप में खुले और बंद सिरों को सही लिखें।
Solve the compound inequality (-6<4-2x\le 10).द्वि-असमीका (-6<4-2x\le 10) को हल कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:B
We get (-10<-2x\le 6), and division by (-2) reverses direction, so (-3\le x<5). Reverse both signs when dividing by a negative.(-10<-2x\le 6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर दिशा बदलती है, इसलिए (-3\le x<5)। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से दोनों चिन्हों की दिशा बदलें।
What is the solution of the compound inequality 0 < (9 − 3x)/6 ≤ 2?द्वि-असमीका 0 < (9 − 3x)/6 ≤ 2 का समाधान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Treat the compound inequality as two conditions that must hold simultaneously. Since 6 is positive, multiply all three parts by 6 without reversing either sign: 0 < 9 − 3x ≤ 12. From 0 < 9 − 3x, subtract 9 to get −9 < −3x, and divide by −3, reversing the sign: x < 3. From 9 − 3x ≤ 12, subtract 9 to get −3x ≤ 3, and divide by −3: x ≥ −1. Combining the conditions gives −1 ≤ x < 3, so option C is correct. The lower endpoint is included because x = −1 makes the fraction 2, while x = 3 is excluded because it makes the fraction 0.द्वि-असमिका का अर्थ है कि दोनों शर्तें एक साथ सत्य होनी चाहिए। 6 धनात्मक है, इसलिए तीनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर चिन्हों की दिशा नहीं बदलेगी: 0 < 9 − 3x ≤ 12। पहली शर्त से 0 < 9 − 3x, अतः −9 < −3x और ऋणात्मक −3 से भाग देने पर x < 3 मिलता है। दूसरी शर्त से 9 − 3x ≤ 12, इसलिए −3x ≤ 3 और फिर ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर x ≥ −1 प्राप्त होता है। दोनों परिणामों का प्रतिच्छेद −1 ≤ x < 3 है, इसलिए विकल्प C सही है। x = −1 पर भिन्न का मान 2 आता है और वह शामिल है, जबकि x = 3 पर मान 0 आता है और 0 < वाली शर्त के कारण वह शामिल नहीं है।
Choose the solution set of (-2\le \frac{5x-1}{4}<3).द्वि-असमीका (-2\le \frac{5x-1}{4}<3) का समाधान समुच्चय चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:D
(-8\le 5x-1<12) gives (-7\le 5x<13), so (-\frac{7}{5}\le x<\frac{13}{5}). Preserve boundary signs at every step.(-8\le 5x-1<12) से (-7\le 5x<13), इसलिए (-\frac{7}{5}\le x<\frac{13}{5})। परीक्षा में हर चरण में सीमा चिन्ह बनाए रखें।
Find the solution set of (\frac{x+2}{3}+\frac{x-5}{4}\ge 1).असमीका (\frac{x+2}{3}+\frac{x-5}{4}\ge 1) का समाधान समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Multiplying by (12) gives (4x+8+3x-15\ge 12), so (x\ge \frac{19}{7}). Use the LCM to clear denominators.हर (12) से गुणा करने पर (4x+8+3x-15\ge 12), इसलिए (x\ge \frac{19}{7})। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं।
Solve the inequality (\frac{2x-3}{5}-\frac{x+1}{2}\le -1).असमीका (\frac{2x-3}{5}-\frac{x+1}{2}\le -1) को हल कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:B
Multiplying by (10) gives (4x-6-5x-5\le -10), so (x\ge -1). Change signs of both terms after a subtracted fraction.हर (10) से गुणा करने पर (4x-6-5x-5\le -10), इसलिए (x\ge -1)। परीक्षा में घटाव वाले भिन्न के दोनों पदों के चिन्ह बदलें।
What is the solution of (\frac{3-2x}{4}+\frac{x-6}{3}>0)?असमीका (\frac{3-2x}{4}+\frac{x-6}{3}>0) का समाधान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Multiplying by (12) gives (9-6x+4x-24>0), so (x<-\frac{15}{2}). Reverse the sign when a negative coefficient remains.हर (12) से गुणा करने पर (9-6x+4x-24>0), इसलिए (x<-\frac{15}{2})। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक मिलने पर चिन्ह पलटें।
Choose the solution set of (\frac{5x+4}{8}<\frac{x-2}{2}+3).असमीका (\frac{5x+4}{8}<\frac{x-2}{2}+3) का समाधान समुच्चय चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:D
Multiplying by (8) gives (5x+4<4x-8+24), so (x<12). Combine constants correctly after clearing denominators.हर (8) से गुणा करने पर (5x+4<4x-8+24), इसलिए (x<12)। परीक्षा में हर हटाने के बाद स्थिर पदों को सही मिलाएं।
What is the solution set of the inequality (2x+5>2x+9)?असमीका (2x+5>2x+9) का समाधान समुच्चय क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Subtracting (2x) from both sides gives (5>9), which is false. In such a case, there is no solution.दोनों पक्षों से (2x) हटाने पर (5>9) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में ऐसी स्थिति में कोई समाधान नहीं होता।
What is the solution set of (3x-4\le 3x+1)?असमीका (3x-4\le 3x+1) का समाधान समुच्चय क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Subtracting (3x) from both sides gives (-4\le 1), which is always true. Such an inequality has all real numbers as solution.दोनों पक्षों से (3x) हटाने पर (-4\le 1) मिलता है, जो सदैव सत्य है। परीक्षा में ऐसी असमीका का समाधान सभी वास्तविक संख्याएं होता है।
If (-3x+5\ge -7) and (x+2>0), find the common solution set.यदि (-3x+5\ge -7) और (x+2>0), तो संयुक्त समाधान समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:D
Solve each inequality separately and then take the values common to both results. From \\(-3x+5\ge -7\\), subtract 5 to get \\(-3x\ge -12\\). Dividing by the negative number \\(-3\\) reverses the inequality sign, giving \\(x\le 4\\). From \\(x+2>0\\), subtract 2 to obtain \\(x>-2\\). Both conditions must hold at the same time, so the solution is \\(-2<x\le4\\).
Option D states exactly this common solution set. The endpoint \\(-2\\) is excluded because the second inequality is strict: at \\(x=-2\\), it gives 0>0, which is false. The endpoint 4 is included because the first inequality allows equality, and the second inequality is also satisfied there. Reversing the sign while dividing by \\-3 would incorrectly produce another option.पहले दोनों असमिकाओं को अलग-अलग हल करें और फिर उनके समान मान लें। \\(-3x+5\ge-7\\) में 5 घटाने पर \\(-3x\ge-12\\) मिलता है। अब \\-3 से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाएगा, इसलिए \\(x\le4\\)। दूसरी असमिका \\(x+2>0\\) से 2 घटाने पर \\(x>-2\\) प्राप्त होता है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए, इसलिए संयुक्त हल \\(-2<x\le4\\) है।
विकल्प D इसी समुच्चय को बताता है। \\(-2\\) शामिल नहीं है क्योंकि दूसरी असमिका सख्त है; \\(x=-2\\) रखने पर 0>0 गलत होगा। 4 शामिल है क्योंकि पहली असमिका में बराबरी स्वीकार है और 4 दूसरी शर्त को भी पूरा करता है। ऋणात्मक संख्या \\(-3\\) से भाग देते समय चिन्ह न पलटना गलत समाधान देगा।
Write the inequality (\frac{3x+7}{2}\ge -4) in interval form.असमीका (\frac{3x+7}{2}\ge -4) को अंतराल रूप में लिखिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
(3x+7\ge -8) gives (x\ge -5), so the interval is ([-5,\infty)). Use a closed endpoint for (\ge).(3x+7\ge -8) से (x\ge -5), इसलिए अंतराल ([-5,\infty)) है। परीक्षा में (\ge) के लिए बंद सिरा लगाएं।
What is the interval form of (\frac{5-2x}{7}<-1)?असमीका (\frac{5-2x}{7}<-1) का अंतराल रूप क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Since 7 is positive, multiplying both sides by 7 does not change the inequality sign: \(5-2x<-7\). Thus, \(-2x<-12\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality, giving \(x>6\). Hence, the interval is \((6,\infty)\). Option C incorrectly includes 6, whereas the original inequality is strict. Exam tip: Always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.7 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 7 से गुणा करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता: \(5-2x<-7\)। अतः \(-2x<-12\)। अब \(-2\) से भाग देने पर चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>6\)। इसलिए अंतराल रूप \((6,\infty)\) है। विकल्प C में 6 शामिल है, लेकिन मूल असमीका सख्त है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमीका का चिह्न अवश्य पलटें।
Which of the following values does not satisfy the inequality (2x-3\le 5)?निम्न में से कौन-सा मान असमीका (2x-3\le 5) को संतुष्ट नहीं करता है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Adding 3 to both sides of \(2x-3\le 5\) gives \(2x\le 8\). Dividing by 2 gives \(x\le 4\). Therefore, \(x=5\) is greater than 4 and does not satisfy the inequality. The closest option, \(x=4\), does satisfy it because the equality case is included. Exam tip: In an inequality containing \(\le\), the boundary value is also a solution.असमीका \(2x-3\le 5\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(2x\le 8\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\le 4\) प्राप्त होता है। अतः \(x=5\), 4 से बड़ा है और असमीका को संतुष्ट नहीं करता। \(x=4\) निकटतम विकल्प है, लेकिन यह सीमा मान होने के कारण असमीका को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: \(\le\) में बराबर वाला सीमा मान भी समाधान होता है।
If (x) is an integer, how many solutions does (-5<3x+1\le 10) have?यदि (x) पूर्णांक है, तो (-5<3x+1\le 10) के कितने समाधान हैं?
Correct answer:सही उत्तर:D
Subtracting 1 from all three parts gives \(-6<3x\le 9\). Dividing by 3 gives \(-2<x\le 3\). The integers in this range are \(-1,0,1,2,3\), so there are 5 solutions. Option 4 misses \(x=3\), which is included because the upper inequality is \(\le\). Exam tip: In a compound inequality, check strict and inclusive endpoints separately.असमानता के सभी भागों से 1 घटाने पर \,\(-6<3x\le 9\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \,\(-2<x\le 3\) प्राप्त होता है। इस अंतराल में पूर्णांक \(-1,0,1,2,3\) हैं, अर्थात कुल 5 समाधान हैं। विकल्प 4 में \(x=3\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानता में दोनों सीमाओं पर < और \(\le\) के चिह्न अलग-अलग जाँचें।
Solve the inequality (\frac{3x}{2}-\frac{5}{3}>\frac{1}{6}).असमीका (\frac{3x}{2}-\frac{5}{3}>\frac{1}{6}) को हल कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:B
Multiplying by (6) gives (9x-10>1), so (x>\frac{11}{9}). Take the LCM of all fractions together.हर (6) से गुणा करने पर (9x-10>1), इसलिए (x>\frac{11}{9})। परीक्षा में सभी भिन्नों का एक साथ लघुत्तम समापवर्त्य लें।
What is the solution of (\frac{2x-7}{3}\le \frac{4-x}{6})?असमीका (\frac{2x-7}{3}\le \frac{4-x}{6}) का समाधान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Multiplying by (6) gives (4x-14\le 4-x), so (x\le \frac{18}{5}). Combine variable terms from both sides carefully.हर (6) से गुणा करने पर (4x-14\le 4-x), इसलिए (x\le \frac{18}{5})। परीक्षा में दोनों पक्षों के चर पदों को सावधानी से मिलाएं।
Choose the solution set of (\frac{x+9}{-3}<2).असमीका (\frac{x+9}{-3}<2) का समाधान समुच्चय चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:D
Given \(\frac{x+9}{-3}<2\), multiply both sides by \(-3\). Since the multiplier is negative, the inequality sign reverses: \(x+9>-6\). Therefore, \(x>-15\). Option B incorrectly includes \(x=-15\), which is not allowed because the original inequality is strict. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.दिया है \(\frac{x+9}{-3}<2\)। दोनों पक्षों को \(-3\) से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या से गुणा करने के कारण असमीका का चिह्न पलट जाएगा: \(x+9>-6\)। अतः \(x>-15\)। विकल्प B में \(x=-15\) भी शामिल है, पर मूल असमीका में strict चिह्न \(<\) होने के कारण \(-15\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमीका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें।
Solve the inequality (-\frac{2x-1}{5}\ge 3).असमीका (-\frac{2x-1}{5}\ge 3) को हल कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Multiplying by (5) gives (-(2x-1)\ge 15), so (x\le -7). Apply the negative sign to the whole numerator.हर (5) से गुणा करने पर (-(2x-1)\ge 15), इसलिए (x\le -7)। परीक्षा में ऋण चिन्ह को पूरे अंश पर लागू करें।
What is the solution of (8-\frac{x-3}{2}\le 1)?असमीका (8-\frac{x-3}{2}\le 1) का समाधान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Multiplying by (2) gives (16-(x-3)\le 2), so (x\ge 17). Change signs properly when opening brackets after subtraction.हर (2) से गुणा करने पर (16-(x-3)\le 2), इसलिए (x\ge 17)। परीक्षा में घटाव के बाद कोष्ठक खोलते समय चिन्ह बदलें।
Find the solution set of (3-\frac{2x+1}{4}>\frac{1}{2}).असमीका (3-\frac{2x+1}{4}>\frac{1}{2}) का समाधान समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:C
Multiplying by (4) gives (12-(2x+1)>2), so (x<\frac{9}{2}). Remember sign reversal with a negative variable coefficient.हर (4) से गुणा करने पर (12-(2x+1)>2), इसलिए (x<\frac{9}{2})। परीक्षा में ऋणात्मक चर गुणांक पर चिन्ह पलटना याद रखें।
Solve the inequality (\frac{5x-2}{3}-\frac{2x+1}{6}\ge \frac{x}{2}).असमीका (\frac{5x-2}{3}-\frac{2x+1}{6}\ge \frac{x}{2}) को हल कीजिए।
Correct answer:सही उत्तर:D
Multiplying by (6) gives (2(5x-2)-(2x+1)\ge 3x), so (x\ge 1). Put brackets around the subtracted numerator.हर (6) से गुणा करने पर (2(5x-2)-(2x+1)\ge 3x), इसलिए (x\ge 1)। परीक्षा में घटाए गए अंश पर कोष्ठक जरूर लगाएं।
A person's age-related condition is (4x+3\le 35). What can be the maximum value of (x)?किसी व्यक्ति की आयु से संबंधित शर्त (4x+3\le 35) है। (x) का अधिकतम मान क्या हो सकता है?
Correct answer:सही उत्तर:A
(4x\le 32) gives (x\le 8), so the maximum value is (8). For maximum value, check the upper bound.(4x\le 32) से (x\le 8), इसलिए अधिकतम मान (8) है। परीक्षा में अधिकतम मान के लिए ऊपरी सीमा देखें।
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