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SubjectsMathematics
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Expert · Level 5 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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For the interval to be non-empty, the left endpoint must be less than the right open endpoint. From (2p-5<p+4), (p<9).अंतराल खाली न हो इसके लिए बायाँ सिरा दाएँ खुले सिरे से छोटा होना चाहिए। (2p-5<p+4) से (p<9) मिलता है।
Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(6x-4-5x-20\geq -10\). Thus, \(x-24\geq -10\), so \(x\geq 14\). The option \(x>14\) is incorrect because it excludes 14, and \(x=14\) satisfies the original inequality. Exam tip: Multiply by the LCM of the denominators to solve fractional inequalities efficiently.असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(6x-4-5x-20\geq -10\)। अतः \(x-24\geq -10\), इसलिए \(x\geq 14\)। विकल्प \(x>14\) में 14 शामिल नहीं है, जबकि \(x=14\) मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: हर भिन्न के हर का LCM लेकर गुणा करने से ऐसी असमानताएँ जल्दी हल होती हैं।
Dividing by (-3) reverses both inequality signs. Hence the solution is ( \frac{1}{3}\leq x<\frac{13}{3} ).(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता-चिह्न उलटते हैं। इसलिए हल ( \frac{1}{3}\leq x<\frac{13}{3} ) है।
From \(ax+7<1\), we get \(ax<-6\). For the solution to be \(x>3\), \(a\) must be negative because dividing an inequality by a negative number reverses its sign. At the boundary value \(x=3\), \(3a=-6\), so \(a=-2\). Check: \(-2x+7<1\Rightarrow -2x<-6\Rightarrow x>3\). If \(a=2\), the result is \(x<-3\), so it is not correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.असमानता से \(ax+7<1\Rightarrow ax<-6\) मिलता है। हल \(x>3\) होने के लिए \(a\) ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। सीमा मान \(x=3\) रखने पर \(3a=-6\), अतः \(a=-2\)। जाँच: \(-2x+7<1\Rightarrow -2x<-6\Rightarrow x>3\)। \(a=2\) लेने पर \(x<-3\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें।
The first inequality gives (x<11), and the second gives (x\geq 6). The integers are (6,7,8,9,10), so there are (5) values.पहली असमानता से (x<11) और दूसरी से (x\geq 6) मिलता है। पूर्णांक (6,7,8,9,10) हैं, इसलिए कुल (5) मान हैं।
Both sides become identical, so the inequality is true for every real (x). In an identity-type inequality, all real numbers are the solution.दोनों पक्ष समान बनते हैं, इसलिए असमानता हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। पहचान जैसी स्थिति में सभी वास्तविक संख्याएँ उत्तर होती हैं।
Simplification gives (-6x>2), so (x<-\frac{1}{3}). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.सरलीकरण पर (-6x>2) मिलता है, इसलिए (x<-\frac{1}{3})। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटता है।
Clearing denominators gives (7x-14\ge 12), hence (x\ge \frac{26}{7}). For fractions, multiply by the LCM first.हर हटाने पर (7x-14\ge 12), अतः (x\ge \frac{26}{7})। भिन्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें।
Simplification gives (2x\ge 15), so (x\ge \frac{15}{2}). Apply the negative sign carefully while opening brackets.सरलीकरण से (2x\ge 15) मिलता है, इसलिए (x\ge \frac{15}{2})। कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न ध्यान से लगाएँ।
The left side becomes (-5), so (-5\le x-8) and (x\ge 3). When variables cancel, place the remaining constant correctly.बायाँ पक्ष (-5) बनता है, इसलिए (-5\le x-8) और (x\ge 3)। चर कटने पर बचे स्थिर पद को सही तरफ रखें।
After simplification, (2\ge 4), which is false. A false constant inequality has an empty solution set.सरलीकरण के बाद (2\ge 4) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर असमानता का हल रिक्त समुच्चय होता है।
Clearing denominators gives (12x+11>35), so (x>2). Multiplying by a positive LCM does not change the sign.हर हटाने पर (12x+11>35), इसलिए (x>2)। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता।
The left side becomes (-\frac{11}{5}), and (-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}) is true. Therefore every real (x) is a solution.बायाँ पक्ष (-\frac{11}{5}) बनता है और (-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}) सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है।
Subtract 6 from all three parts of the compound inequality to get \(-2\le 2x<8\). Dividing every part by the positive number 2 does not reverse the inequality signs, giving \(-1\le x<4\). Thus, \(-1\) is included but \(4\) is excluded. Option B incorrectly excludes \(-1\). Exam tip: inequality signs remain unchanged when dividing by a positive number, but reverse when dividing by a negative number.युग्म असमानता के तीनों भागों से 6 घटाने पर \(-2\le 2x<8\) प्राप्त होता है। अब तीनों भागों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते और \(-1\le x<4\) मिलता है। इसलिए \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। विकल्प B में \(-1\) को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी युग्म असमानता में धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न वही रहते हैं; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर दोनों चिह्न उलटते हैं।
Since 3 is positive, multiplying all three parts of the compound inequality by 3 does not reverse any inequality sign: \(-21<x+2\le 3\). Subtracting 2 throughout gives \(-23<x\le 1\). Hence, option C is correct. In option D, the open and closed endpoints have been reversed. Exam tip: An inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए युग्म असमानता के तीनों भागों को 3 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-21<x+2\le 3\)। अब तीनों भागों में से 2 घटाने पर \(-23<x\le 1\) मिलता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D में दोनों सिरों के खुले/बंद होने की स्थिति उलट गई है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता।
Multiplying the first inequality by 2 gives \(3x-1\ge 2x+8\), so \(x\ge 9\). From the second inequality, \(2x<12\), hence \(x<6\). No number can satisfy both \(x\ge 9\) and \(x<6\), so the combined solution is \(\varnothing\). The option \(x\ge 9\) solves only the first inequality, not both. Exam tip: for “and”, take the intersection of the solution sets.पहली असमानता को 2 से गुणा करने पर \(3x-1\ge 2x+8\), अतः \(x\ge 9\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(2x<12\), इसलिए \(x<6\) है। कोई भी संख्या एक साथ \(x\ge 9\) और \(x<6\) नहीं हो सकती, इसलिए संयुक्त हल \(\varnothing\) है। विकल्प \(x\ge 9\) केवल पहली असमानता का हल है, दोनों का नहीं। परीक्षा टिप: ‘और’ के लिए दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद लें।
The first inequality gives (x<13), and the second gives (x\le -3). The second set is contained in the first, so the answer is (x<13).पहली असमानता से (x<13) और दूसरी से (x\le -3) मिलता है। दूसरी शर्त पहले हल में शामिल है, इसलिए उत्तर (x<13) है।
Expanding gives \(5-10x\) on the left and \(3-8x-4=-1-8x\) on the right. Thus, \(5-10x\le -1-8x\), so \(6\le 2x\). Dividing by 2 does not reverse the inequality, giving \(x\ge 3\). The closest distractor is \(x>3\), but \(x=3\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दिए गए व्यंजक को फैलाने पर बायाँ पक्ष \(5-10x\) और दायाँ पक्ष \(3-8x-4=-1-8x\) मिलता है। अतः \(5-10x\le -1-8x\), यानी \(6\le 2x\)। 2 से भाग देने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती, इसलिए \(x\ge 3\) प्राप्त होता है। \(x>3\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है।
Multiplying the inequality by 2 gives \(4x+12-(3x-1)>14\). On simplifying, \(x+13>14\), so \(x>1\). The option \(x\geq1\) is not correct because the original inequality is strict, and \(x=1\) does not satisfy it. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.असमानता को 2 से गुणा करने पर \(4x+12-(3x-1)>14\) मिलता है। सरल करने पर \(x+13>14\), अतः \(x>1\)। \(x\geq1\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है और \(x=1\) इसे संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता।
Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(2(4x+9)\le 5(x-6)\). Thus, \(8x+18\le 5x-30\), so \(3x\le -48\), giving \(x\le -16\). The close distractor \(x<-16\) is incorrect because at \(x=-16\), both sides are equal, so the endpoint must be included. Exam tip: an inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(2(4x+9)\le 5(x-6)\)। अतः \(8x+18\le 5x-30\), जिससे \(3x\le -48\) और इसलिए \(x\le -16\) प्राप्त होता है। \(x<-16\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=-16\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए उसे शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता।
Simplifying the left-hand side gives \(9-3(x-4)=21-3x\), while the right-hand side gives \(2(7-x)+x=14-x\). Thus, \(21-3x\ge14-x\), or \(7\ge2x\). Since 2 is positive, dividing both sides by 2 does not reverse the inequality sign, giving \(x\le\frac{7}{2}\). The option \(x<\frac{7}{2}\) is incorrect because \(x=\frac{7}{2}\) also satisfies the equality case. Exam tip: An inequality sign remains unchanged when dividing by a positive number.बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(9-3(x-4)=21-3x\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(7-x)+x=14-x\) मिलता है। अतः \(21-3x\ge14-x\), यानी \(7\ge2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le\frac{7}{2}\) मिलता है। \(x<\frac{7}{2}\) गलत है क्योंकि \(x=\frac{7}{2}\) पर भी दोनों पक्ष बराबर हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है।
Multiplying both sides by 6 gives \(2(2x-5)+(x+1)\le 3x\). Hence, \(5x-9\le 3x\), so \(2x\le 9\) and \(x\le \frac{9}{2}\). Option B excludes \(\frac{9}{2}\), but this endpoint must be included because the inequality has \(\le\). Exam tip: For inequalities involving fractions, first multiply by a positive LCM to remove denominators.दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर \(2(2x-5)+(x+1)\le 3x\) मिलता है। अतः \(5x-9\le 3x\), इसलिए \(2x\le 9\) और \(x\le \frac{9}{2}\)। विकल्प B में \(\frac{9}{2}\) शामिल नहीं है, जबकि असमानता में \(\le\) होने के कारण यह मान भी हल है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाली असमानता में पहले धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करके हर हटाएँ।
In the first inequality, \(7x-2(3x+5)=7x-6x-10=x-10\). Thus, \(x-10\ge4\), so \(x\ge14\). From the second inequality, \(x-1>6\), giving \(x>7\). Since both conditions must hold, take the intersection of the two solution sets: \(x\ge14\). The option \(x>7\) satisfies only the second inequality. Exam tip: for “and,” always take the intersection of the solution sets.पहली असमानता में \(7x-2(3x+5)=7x-6x-10=x-10\) है। अतः \(x-10\ge4\), इसलिए \(x\ge14\)। दूसरी असमानता से \(x-1>6\), अर्थात \(x>7\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने के लिए उनका प्रतिच्छेद लेना होता है, जो \(x\ge14\) है। \(x>7\) केवल दूसरी असमानता का हल है। परीक्षा टिप: ‘और’ (and) के लिए हमेशा दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद लें।
Simplifying the left-hand side gives \(\frac{1}{3}(6x-9)=2x-3\) and \(\frac{1}{2}(4x+2)=2x+1\). Hence, the left-hand side is \((2x-3)-(2x+1)=-4\). Since \(-4\geq -5\) is always true, the inequality holds for every real value of \(x\). The option \(x\geq -5\) restricts \(x\), but this inequality imposes no restriction. Exam tip: When variable terms cancel, check whether the resulting constant statement is true or false.बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(\frac{1}{3}(6x-9)=2x-3\) और \(\frac{1}{2}(4x+2)=2x+1\) मिलता है। अतः बायाँ पक्ष \((2x-3)-(2x+1)=-4\) है। असमानता \(-4\geq -5\) सदैव सत्य है, इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए यह सत्य होगी। विकल्प \(x\geq -5\) केवल कुछ मानों को लेता है, जबकि यहाँ कोई प्रतिबंध नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर वाले पद कट जाएँ, तो प्राप्त स्थिर असमानता की सत्यता जाँचें।
Expanding the left side gives \(\frac{3x}{4}-6\), while simplifying the right side gives \(\frac{x}{2}-4\). Thus, \(\frac{3x}{4}-6<\frac{x}{2}-4\), which gives \(\frac{x}{4}<2\), and hence \(x<8\). The option \(x\leq 8\) is not correct because the original inequality is strict; \(x=8\) is not a solution. Exam tip: After moving terms in a fractional inequality, carefully check the coefficient and the inequality sign.बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(\frac{3x}{4}-6\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(\frac{x}{2}-4\) मिलता है। अतः \(\frac{3x}{4}-6<\frac{x}{2}-4\), जिससे \(\frac{x}{4}<2\) और इसलिए \(x<8\) प्राप्त होता है। \(x\leq 8\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है; \(x=8\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाली असमानता में पदों को स्थानांतरित करने के बाद गुणांक और असमानता-चिह्न को अवश्य जाँचें।
