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SubjectsMathematics
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Expert · Level 2 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Multiplying by positive (12) gives (4x-8+6x+3<10x-14). This reduces to (-5<-14), which is false, so there is no solution.धनात्मक (12) से गुणा करने पर (4x-8+6x+3<10x-14) मिलता है। इससे (-5<-14) असत्य है, इसलिए कोई हल नहीं।
After multiplying by positive (12), variable terms cancel and (-5<-14) remains. A false final statement gives an empty solution set.धनात्मक (12) से गुणा करने पर चर पद कट जाते हैं और (-5<-14) मिलता है। असत्य कथन आने पर हल समुच्चय रिक्त होता है।
The inequality gives (-6\le3x<12), hence (-2\le x<4). For integers, the correct list is ({-2,-1,0,1,2,3}).असमानता से (-6\le3x<12), अतः (-2\le x<4) मिलता है। पूर्णांकों में सही सूची ({-2,-1,0,1,2,3}) होगी।
We get ((a-2)x>a-4); for (x>3), (\frac{a-4}{a-2}=3) and (a-2>0) are needed. This gives (a=1), which violates the direction condition, so no option is correct.((a-2)x>a-4) है और (x>3) पाने के लिए (\frac{a-4}{a-2}=3) तथा (a-2>0) चाहिए। इससे (a=1) आता है, पर दिशा शर्त टूटती है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं।
Rearranging the inequality gives \((a-2)x>a-4\). For \(a=1\), this becomes \(-x>-3\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign, so \(x<3\). Hence, \(a=1\) is correct. For instance, \(a=3\) gives \(x>-1\), not the required solution. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.असमानता को व्यवस्थित करने पर \((a-2)x>a-4\) मिलता है। \(a=1\) रखने पर \(-x>-3\) प्राप्त होता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<3\) मिलता है। अतः सही विकल्प \(a=1\) है। उदाहरण के लिए, \(a=3\) पर \(x>-1\) मिलता है, जो अपेक्षित हल नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक से भाग या गुणा करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें।
Since \(p>0\), dividing by \(p\) does not reverse the inequality: \(-(4x+1)<2(3-x)\). Thus, \(-4x-1<6-2x\), so \(-7<2x\), giving \(x>-\frac{7}{2}\). Option B has the inequality direction reversed. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative quantity.चूँकि \(p>0\) है, इसलिए \(p\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-(4x+1)<2(3-x)\)। अतः \(-4x-1<6-2x\), जिससे \(-7<2x\) और इसलिए \(x>-\frac{7}{2}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या या व्यंजक से गुणा/भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है।
Multiplying by positive (10) gives (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x). Simplification gives (26-x\le7-x), which is false, so no solution exists.धनात्मक (10) से गुणा करने पर (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x) मिलता है। सरलीकरण से (26-x\le7-x), जो असत्य है, अतः कोई हल नहीं।
Multiply every part of the compound inequality by the positive number 4, so the inequality signs remain unchanged: \(-12\le 2x-5<4\). Adding 5 throughout gives \(-7\le 2x<9\). Dividing by 2 gives \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\). Therefore, option A is correct. Option B incorrectly reverses the inclusive and exclusive endpoint signs. Exam tip: Inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.पूरी संयुक्त असमानता को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-12\le 2x-5<4\)। दोनों भागों में 5 जोड़ने पर \(-7\le 2x<9\) मिलता है। अब 2 से भाग देने पर \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों सिरों पर \(\le\) और \(<\) के चिह्न उलट दिए गए हैं। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता के चिह्न पलटते हैं।
The direct answer is option B: \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\). The compound inequality means both bounds must hold: \(40\le\frac{3s+10}{2}\le85\). Multiply every part by positive 2: \(80\le3s+10\le170\). Subtract 10 throughout: \(70\le3s\le160\). Divide by positive 3: \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\). Option A, \(20\le s\le50\), does not come from the correct subtraction and division. Option B is exactly the derived interval. Option C has both endpoints shifted upward by \(10/3\), so it is wrong. Option D is a rough interval and fails the exact boundary calculation. Both endpoints are included because the original signs are \(\le\), not strict signs. Keep the order of a compound inequality while performing the same operation on all three parts.सीधा उत्तर विकल्प B है: \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\)। संयुक्त असमता का अर्थ है कि दोनों सीमाएँ एक साथ पूरी हों: \(40\le\frac{3s+10}{2}\le85\)। तीनों भागों को धनात्मक 2 से गुणा करने पर \(80\le3s+10\le170\)। तीनों भागों से 10 घटाने पर \(70\le3s\le160\)। अब धनात्मक 3 से भाग देने पर \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\) मिलता है। विकल्प A, \(20\le s\le50\), सही गणना से नहीं निकलता। विकल्प B ठीक वही अंतराल है जो प्राप्त हुआ। विकल्प C में दोनों सीमाएँ गलत ढंग से \(10/3\) अधिक हैं। विकल्प D केवल एक अनुमान जैसा अंतराल है और सटीक सीमाओं से मेल नहीं खाता। दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा क्योंकि मूल चिन्ह \(\le\) हैं, सख्त \(<\) नहीं। संयुक्त असमता में हर क्रिया तीनों भागों पर समान रूप से करें और धनात्मक गुणक होने पर चिन्ह न बदलें।
Multiply both sides by 15. Since 15 is positive, the inequality sign does not change: \(5x+10\geq 6x-3\). Rearranging gives \(10+3\geq 6x-5x\), so \(13\geq x\), i.e. \(x\leq 13\). The option \(x\geq 13\) incorrectly reverses the direction of the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.दोनों पक्षों को 15 से गुणा करें। क्योंकि 15 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(5x+10\geq 6x-3\)। अब \(10+3\geq 6x-5x\), अतः \(13\geq x\), अर्थात \(x\leq 13\)। विकल्प \(x\geq 13\) चिह्न की दिशा उलट देता है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है।
Multiplying by positive (8) gives (64-2(3x-2)>16+x+6). This gives (68-6x>22+x), so (x<\frac{46}{7}).धनात्मक (8) से गुणा करने पर (64-2(3x-2)>16+x+6) मिलता है। इससे (68-6x>22+x), यानी (x<\frac{46}{7})।
Multiplying both sides by the positive number \(8\) does not change the inequality sign: \(68-6x>22+x\). Thus, \(46>7x\), so \(x<\frac{46}{7}\). Option A has the inequality sign reversed. Exam tip: the sign reverses only when multiplying or dividing an inequality by a negative number.असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(8\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(68-6x>22+x\)। अतः \(46>7x\), इसलिए \(x<\frac{46}{7}\)। विकल्प A में असमानता का चिह्न उलटा है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न वही रहता है; केवल ऋणात्मक संख्या के लिए चिह्न पलटता है।
Opening the brackets gives \(10-5x\ge 12-3x+2\), or \(10-5x\ge14-3x\). Subtracting 10 from both sides and adding \(3x\) gives \(-2x\ge4\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, so \(x\le-2\). The option \(x\ge-2\) results from the common mistake of not reversing the sign. Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.कोष्ठक खोलने पर \(10-5x\ge 12-3x+2\), अर्थात \(10-5x\ge14-3x\) मिलता है। दोनों पक्षों से 10 घटाने और \(3x\) जोड़ने पर \(-2x\ge4\) प्राप्त होता है। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x\le-2\)। \(x\ge-2\) वाला विकल्प चिह्न न पलटने की सामान्य गलती पर आधारित है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें।
Multiply both sides of the inequality by 10 to remove the decimals: \(2x+15>7-3x\). Moving \(3x\) to the left and 15 to the right gives \(5x>-8\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign: \(x>-\frac{8}{5}=-1.6\). Therefore, option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Exam tip: An inequality sign stays unchanged when multiplying or dividing by a positive number.दशमलव हटाने के लिए असमता के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें: \(2x+15>7-3x\)। अब \(3x\) को बाएँ और 15 को दाएँ ले जाने पर \(5x>-8\) मिलता है। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता: \(x>-\frac{8}{5}=-1.6\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में असमता का चिह्न उलट दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
The left inequality gives (18-3x\le2x+9), hence (x\ge\frac{9}{5}); the right gives (x<\frac{21}{2}). The correct intersection is (x\ge\frac{9}{5}) and (x<\frac{21}{2}).बाईं असमानता से (18-3x\le2x+9), अतः (x\ge\frac{9}{5}) मिलता है; दाईं से (x<\frac{21}{2})। सही प्रतिच्छेद (x\ge\frac{9}{5}) और (x<\frac{21}{2}) है।
Rearranging the inequality gives \((k-2)x\le 9\). For the solution to be \(x\ge -3\), the coefficient of \(x\) must be negative. Using the boundary value \(x=-3\), we get \((k-2)(-3)=9\), so \(k-2=-3\) and hence \(k=-1\). If \(k=1\), the solution is \(x\ge -9\), so it is not correct. Exam tip: when dividing an inequality by a negative number, reverse the inequality sign.दिया गया असमानता रूपांतरित करने पर \((k-2)x\le 9\) प्राप्त होता है। हल \(x\ge -3\) होने के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। सीमा मान \(x=-3\) रखने पर \((k-2)(-3)=9\), अतः \(k-2=-3\) और \(k=-1\)। \(k=1\) लेने पर हल \(x\ge -9\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है।
Multiplying both sides by the positive number 2 does not reverse the inequality sign: \(x-a\le 6\). Hence, \(x\le a+6\). Since the given solution is \(x\le 10\), we get \(a+6=10\), so \(a=4\). If 6 were chosen, the boundary would be \(x\le 12\), not the given one. Exam tip: Multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its sign unchanged.असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x-a\le 6\)। अतः \(x\le a+6\)। दिया है कि हल \(x\le 10\) है, इसलिए \(a+6=10\), जिससे \(a=4\)। विकल्प 6 लेने पर सीमा \(x\le 12\) होती, जो दी गई सीमा से भिन्न है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है।
Multiplying by positive (2) gives (-8<1-3x\le10). From (-9<-3x\le9), reversing signs gives (-3\le x<3).धनात्मक (2) से गुणा कर (-8<1-3x\le10) मिलता है। (-9<-3x\le9) से चिन्ह बदलकर (-3\le x<3) मिलता है।
The first part gives (x>-\frac{2}{3}), and the second gives (x\le10). Integer solutions are (0) through (10), totaling (11).पहले भाग से (x>-\frac{2}{3}) और दूसरे से (x\le10) मिलता है। पूर्णांक हल (0) से (10) तक हैं, कुल (11)।
Solving both parts gives (x>-\frac{2}{3}) and (x\le10). Thus integers are (x=0,1,\ldots,10), totaling (11).दोनों भाग हल करने पर (x>-\frac{2}{3}) और (x\le10) मिलता है। अतः पूर्णांक (x=0,1,\ldots,10) हैं, कुल (11)।
Direct answer: option B, \(x\le-1\). Begin with \(6-2x\ge x+9\). Subtract \(x\): \(6-3x\ge9\). Subtract 6: \(-3x\ge3\). Divide by \(-3\), reversing the inequality: \(x\le-1\). Option B is correct and includes equality because the original sign is \(\ge\). Option A has the direction reversed. Option C has the wrong boundary and direction. Option D has the wrong boundary, although its direction is not the needed one either. Checking \(x=-1\) gives 8 on both sides, so the endpoint belongs. Remember: a negative divisor flips \(\ge\) into \(\le\).सीधा उत्तर: विकल्प B, \(x\le-1\)। असमीका \(6-2x\ge x+9\) से शुरू करें। दोनों तरफ \(x\) घटाने पर \(6-3x\ge9\)। 6 घटाने पर \(-3x\ge3\)। अब \(-3\) से भाग देने पर चिन्ह पलटेगा और मिलेगा \(x\le-1\)। इसलिए विकल्प B सही है। मूल चिन्ह \(\ge\) होने के कारण बराबरी भी शामिल है। विकल्प A में दिशा उलटी है। विकल्प C में सीमा और दिशा दोनों गलत हैं। विकल्प D में सीमा गलत है और वह सही हल-समुच्चय नहीं देता। \(x=-1\) रखने पर दोनों पक्ष 8 मिलते हैं, इसलिए -1 शामिल है। याद रखें: ऋणात्मक भाजक से भाग देने पर \(\ge\) बदलकर \(\le\) हो जाता है।
Given \(9x-4(2x+1)>3x+8\), expanding the bracket gives \(9x-8x-4>3x+8\), or \(x-4>3x+8\). Subtracting \(3x\) from both sides gives \(-2x-4>8\), so \(-2x>12\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, giving \(x<-6\). The close distractor \(x>-6\) results from forgetting to reverse the sign when dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative quantity.दिया है: \(9x-4(2x+1)>3x+8\)। कोष्ठक खोलने पर \(9x-8x-4>3x+8\), अर्थात \(x-4>3x+8\)। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(-2x-4>8\), इसलिए \(-2x>12\)। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है और \(x<-6\) मिलता है। \(x>-6\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय चिह्न पलटना आवश्यक है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर हमेशा \(>\) और \(<\) का चिह्न बदलें।
Multiplying both sides by the positive number \(9\) does not reverse the inequality: \(3(4x-1)-(x+2)\ge 9x+9\). Simplifying gives \(11x-5\ge 9x+9\), so \(2x\ge 14\). Hence, \(x\ge 7\). The close distractor \(x\le 7\) would result from incorrectly reversing the sign; no multiplication or division by a negative number occurs here. Exam tip: always check the sign of the number when multiplying or dividing an inequality.असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(9\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(3(4x-1)-(x+2)\ge 9x+9\)। सरल करने पर \(11x-5\ge 9x+9\), अर्थात \(2x\ge 14\)। इसलिए \(x\ge 7\)। \(x\le 7\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया है, इसलिए चिह्न उलटेगा नहीं। परीक्षा टिप: हर बार असमानता में गुणा/भाग करते समय संख्या का चिह्न अवश्य जाँचें।
Expanding the left-hand side gives \(2(1-3x)=2-6x\), and expanding the right-hand side gives \(5-4(2x+1)=1-8x\). Thus, \(2-6x\le1-8x\). Adding \(8x\) to both sides gives \(2+2x\le1\), so \(2x\le-1\). Dividing by 2 gives \(x\le-\frac{1}{2}\). The option \(x\ge-\frac{1}{2}\) is incorrect because no division or multiplication by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(1-3x)=2-6x\) और दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(5-4(2x+1)=1-8x\) मिलता है। अतः \(2-6x\le1-8x\)। दोनों पक्षों में \(8x\) जोड़ने पर \(2+2x\le1\), यानी \(2x\le-1\)। 2 से भाग देने पर \(x\le-\frac{1}{2}\) मिलता है। \(x\ge-\frac{1}{2}\) गलत है क्योंकि यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से भाग नहीं दिया गया है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा टिप: असमानता में चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है।
After simplification, a true statement like (1>0) remains. Therefore every real (x) satisfies the inequality.सरलीकरण के बाद (1>0) जैसा सत्य कथन मिलता है। इसलिए हर वास्तविक (x) इस असमानता को संतुष्ट करता है।
