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SubjectsMathematics
In Class 11 Mathematics, under the chapter Linear Inequalities, Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable teaches students to solve inequalities by applying equivalent operations to both sides. Students determine solution sets for expressions involving addition, subtraction, multiplication and division, note when an inequality sign reverses, and express answers using suitable number sets or intervals.
Easy · Level 7 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Dividing (-2x\le 8) by (-2) reverses the sign and gives (x\ge -4). This sign reversal is a very common exam mistake.(-2x\le 8) में (-2) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर (x\ge -4) मिलता है। यह आसान प्रश्नों में सबसे सामान्य गलती होती है।
First subtract (1) to get (5x>15), then divide by (5) to get (x>3). Removing the constant term first makes solving easier.पहले (1) घटाने पर (5x>15) और फिर (5) से भाग देने पर (x>3) मिलता है। पहले स्थिर पद हटाना आसान रहता है।
Adding (7) gives (4x\le 16), and dividing by (4) gives (x\le 4). Dividing by positive (4) keeps the sign unchanged.(7) जोड़ने पर (4x\le 16) और (4) से भाग देने पर (x\le 4) मिलता है। धनात्मक (4) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता।
From (6-2x>0), we get (-2x>-6), and dividing by (-2) gives (x<3). Reverse the sign when dividing by a negative number.(6-2x>0) से (-2x>-6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिन्ह पलटता है।
The direct answer is option A: x≤2. Start with 7-3x≥1. Subtract 7 from both sides: -3x≥-6. Divide by -3; because the divisor is negative, reverse the sign: x≤2. A is correct. Check the boundary x=2: 7-3(2)=1, so 1≥1 is true and 2 must be included. B, x≥2, has the wrong direction caused by failing to reverse the sign. C, x≤-2, has the wrong boundary and does not describe the result; for example, x=0 satisfies the original inequality since 7≥1, but C excludes 0. D, x≥-2, also has the wrong direction and includes x=3, which gives 7-9=-2≥1, false. The minus coefficient of x is the key detail. Memory cue: when isolating a variable by dividing by a negative coefficient, turn ≥ into ≤.सीधा उत्तर विकल्प A है: x≤2। असमानता 7-3x≥1 से शुरू करें। दोनों पक्षों से 7 घटाने पर -3x≥-6 मिलता है। अब -3 से भाग दें। ऋणात्मक भाजक होने के कारण चिह्न पलटेगा और x≤2 मिलेगा। A सही है। सीमा x=2 की जाँच करें: 7-3(2)=1, इसलिए 1≥1 सत्य है और 2 शामिल होना चाहिए। B, x≥2, चिह्न पलटने में हुई गलती के कारण उलटी दिशा देता है। C, x≤-2, गलत सीमा देता है; उदाहरण के लिए x=0 मूल असमानता में 7≥1 को सत्य करता है, लेकिन C उसे बाहर कर देता है। D, x≥-2, भी गलत दिशा देता है और x=3 को शामिल करता है, जबकि 7-9=-2≥1 असत्य है। यहां -3x का ऋणात्मक गुणांक मुख्य बात है। याद रखें: ऋणात्मक गुणांक से भाग देकर x अकेला करते समय ≥ को ≤ बनाएं।
Subtracting (x) and (5) from both sides gives (x\le 4). Keep variable terms on one side and constants on the other.दोनों पक्षों से (x) और (5) घटाने पर (x\le 4) मिलता है। चर पदों को एक ओर और संख्याओं को दूसरी ओर रखें।
The governing concept is solving a linear inequality containing the variable on both sides. Begin with 3x - 2 > x + 6. Subtract x from both sides, which preserves the inequality direction because only the same quantity is being subtracted, to get 2x - 2 > 6. Add 2 to both sides and obtain 2x > 8. Dividing by the positive number 2 gives x > 4. Thus option A is correct. A useful check is x = 5: the original inequality becomes 13 > 11, which is true. A value such as x = 3 gives 7 > 9, which is false. Option B reverses the solution region, while C and D result from incomplete or incorrect simplification.यह प्रश्न दोनों पक्षों में चर वाली एक चर की रैखिक असमानता हल करने की अवधारणा पर आधारित है। 3x - 2 > x + 6 से शुरू करें। दोनों पक्षों से x घटाने पर 2x - 2 > 6 मिलता है; समान पद घटाने से असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। अब दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर 2x > 8 प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर x > 4 मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। जाँच के लिए x = 5 रखने पर 13 > 11 सत्य मिलता है, जबकि x = 3 रखने पर 7 > 9 असत्य होता है। विकल्प B विपरीत क्षेत्र बताता है और C तथा D में सरलीकरण अधूरा या गलत है।
This is an algebraic solution of a linear inequality in one variable. First subtract 2x from both sides: 2x + 3 ≥ 11. Next subtract 3: 2x ≥ 8. Dividing by the positive number 2 does not reverse the inequality sign, so x ≥ 4. Therefore option A is correct, and the solution set includes 4 and every number greater than 4. Option B incorrectly reverses the direction without a negative division. Options C and D confuse the constant 7 that may appear during an incomplete rearrangement with the actual boundary value. A quick check confirms the result: x = 4 gives 19 ≥ 19, while x = 5 gives 23 ≥ 21.यह एक चर वाली रैखिक असमानता को बीजीय रूप से हल करने का प्रश्न है। दोनों पक्षों से 2x घटाने पर 2x + 3 ≥ 11 मिलता है। अब दोनों पक्षों से 3 घटाने पर 2x ≥ 8 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए x ≥ 4 मिलता है। अतः विकल्प A सही है और हल में 4 तथा 4 से बड़ी सभी संख्याएँ शामिल हैं। विकल्प B में चिह्न को बिना कारण उलट दिया गया है; चिह्न तभी उलटता है जब ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए। विकल्प C और D में मध्यवर्ती संख्या को अंतिम सीमा समझने की भूल है। x = 4 रखने पर दोनों पक्ष 19 आते हैं, जिससे उत्तर की जाँच भी हो जाती है।
Subtracting \(3x\) from both sides gives \(2x-4<2\). Adding 4 to both sides gives \(2x<6\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<3\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Exam tip: the sign reverses only when an inequality is multiplied or divided by a negative number, so \(x>3\) is incorrect.दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(2x-4<2\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(2x<6\), और 2 से भाग देने पर \(x<3\) प्राप्त होता है। यहाँ 2 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर ही चिह्न उलटने की बात याद रखें; इसलिए \(x>3\) सही नहीं है।
(9-x\le 5) gives (-x\le -4), and dividing by (-1) gives (x\ge 4). Reverse the sign when dividing by a negative number.(9-x\le 5) से (-x\le -4) मिलता है और (-1) से भाग देने पर (x\ge 4) है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह उलटें।
Multiplying both sides of (\frac{x}{2}>3) by (2) gives (x>6). Multiplication by positive (2) keeps the sign unchanged.(\frac{x}{2}>3) में दोनों पक्षों को (2) से गुणा करने पर (x>6) मिलता है। धनात्मक (2) से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता।
Multiplying both sides by (3) gives (x\le 12). When the denominator is positive, the sign does not change.दोनों पक्षों को (3) से गुणा करने पर (x\le 12) मिलता है। हर हटाते समय वह धनात्मक हो तो चिन्ह नहीं बदलता।
Multiplying by (2) gives (x+1\ge 10), and subtracting (1) gives (x\ge 9). Solving step by step reduces mistakes.(2) से गुणा करने पर (x+1\ge 10) और (1) घटाने पर (x\ge 9) मिलता है। क्रम से हल करने पर गलती कम होती है।
Multiplying by (5) gives (x-2<5), and adding (2) gives (x<7). A positive denominator keeps the inequality sign unchanged.(5) से गुणा करने पर (x-2<5) और (2) जोड़ने पर (x<7) मिलता है। धनात्मक हर हटाते समय चिन्ह वैसा ही रहता है।
Multiplying by (3) gives (2x>12), and dividing by (2) gives (x>6). Remove fractions to form a simple linear inequality.(3) से गुणा करने पर (2x>12) और (2) से भाग देने पर (x>6) मिलता है। भिन्न हटाकर सरल रैखिक रूप बनाएं।
Expanding the bracket gives \(2x+6>14\). Subtracting 6 from both sides results in \(2x>8\), and dividing by 2 gives \(x>4\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because division by the positive number 2 does not reverse the inequality sign. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.कोष्ठक खोलने पर \(2x+6>14\) मिलता है। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(2x>8\), और 2 से भाग देने पर \(x>4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है।
From \(3(x-2)\le 12\), we get \(x-2\le 4\), so \(x\le 6\). Dividing by positive (3) does not change the sign.\(3(x-2)\le 12\) से \(x-2\le 4\) और \(x\le 6\) मिलता है। धनात्मक (3) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता।
Opening brackets gives \(4x+4\ge 2x+10\), so \(2x\ge 6\) and \(x\ge 3\). Simplify all terms first.कोष्ठक खोलने पर \(4x+4\ge 2x+10\) मिलता है इसलिए \(2x\ge 6\) और \(x\ge 3\)। पहले सभी पदों को सरल करें।
Expanding the brackets gives \(5x-5<3x+7\). Subtracting \(3x\) from both sides yields \(2x-5<7\), or \(2x<12\). Dividing by the positive number \(2\) gives \(x<6\), so option A is correct. Option B is wrong because the inequality sign is reversed even though the divisor is positive. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.कोष्ठक खोलने पर \(5x-5<3x+7\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(2x-5<7\), अर्थात् \(2x<12\) मिलता है। अब धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता का चिन्ह उलट दिया गया है, जबकि धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-टिप: असमानता का चिन्ह केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है।
Expanding the brackets gives 6x − 2 > 4x + 6. Subtracting 4x from both sides gives 2x − 2 > 6, and adding 2 gives 2x > 8. Dividing by the positive number 2 yields x > 4, so option A is correct. Option B has the wrong direction; division by a positive number does not reverse an inequality. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.कोष्ठक खोलने पर 6x − 2 > 4x + 6 मिलता है। दोनों पक्षों से 4x घटाने पर 2x − 2 > 6, और दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर 2x > 8 प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर x > 4 मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; धनात्मक संख्या से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें कि असमानता की दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है।
The direct answer is A: (-∞,5). The inequality x<5 includes every real number smaller than 5 and excludes 5 itself. In interval notation, the left side continues without end toward negative infinity, written −∞; infinity is never an included endpoint, so it uses a parenthesis. The right endpoint 5 is also excluded because the sign is strict <, so it also uses a parenthesis. Option A is correct. Option B includes 5 with a square bracket, which would mean x≤5. Option C starts at 5 and includes numbers greater than 5, the opposite direction. Option D also represents numbers greater than 5 and excludes 5. Memory cue: x<5 means shade left of 5 and leave 5 open.सीधा उत्तर A है: \((-\infty,5)\)। असमानता \(x<5\) में 5 से छोटे सभी वास्तविक मान शामिल हैं, लेकिन 5 स्वयं शामिल नहीं है। अंतराल रूप में बाईं ओर संख्या-रेखा अनंत तक जाती है, इसलिए \(-\infty\) लिखा जाता है; अनंत को कभी शामिल नहीं किया जाता, अतः वहाँ गोल कोष्ठक लगता है। 5 भी कठोर चिह्न < के कारण बाहर है, इसलिए उसके पास भी गोल कोष्ठक होगा। A सही है। B में 5 को वर्ग कोष्ठक से शामिल किया गया है, जो \(x\le5\) होता। C 5 से शुरू होकर दाईं ओर के मान देता है और 5 को शामिल करता है, इसलिए गलत है। D भी 5 से बड़े मान देता है, यानी विपरीत दिशा। याद रखें: \(x<5\) का अर्थ संख्या-रेखा पर 5 के बाईं ओर छायांकन और 5 पर खुला सिरा है।
In (x\ge -2), (-2) is included, so ([-2,\infty)) is correct. Infinity always takes a round bracket.(x\ge -2) में (-2) शामिल है इसलिए ([-2,\infty)) सही है। (\infty) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है।
Adding 1 to both sides gives 2x ≥ 8. Dividing by 2 gives x ≥ 4, so 4 is included and the solution interval is [4, ∞).दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर 2x ≥ 8 मिलता है। 2 से भाग देने पर x ≥ 4 प्राप्त होता है। इसलिए 4 शामिल है और हल का अंतराल [4, ∞) है।
(x-1>2) gives (x>3), so the smallest natural number is (4). A strict inequality does not include the boundary value.(x-1>2) से (x>3) मिलता है इसलिए सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (4) है। सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता।
(x+2\le 6) gives (x\le 4), and the positive integers are (1,2,3,4). Do not count (0) as a positive integer.(x+2\le 6) से (x\le 4) मिलता है और धनात्मक पूर्णांक (1,2,3,4) हैं। गिनते समय (0) को धनात्मक पूर्णांक न मानें।
