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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Easy Level 14

वेन आरेख में \(A\cup A'\) किस सेट के बराबर होता है?

In a Venn diagram, \(A\cup A'\) is equal to which set?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. \(U\)

Explanation

Simple Explanation

कोई भी तत्व \(x\in U\) के लिए या तो \(x\in A\) होगा या \(x\notin A\) होगा (यही \(A'\) की परिभाषा है)। यदि \(x\in A\) तो \(x\in A\cup A'\) और यदि \(x\notin A\) तो \(x\in A'\) इसलिए फिर भी \(x\in A\cup A'\)। अतः हर \(x\in U\) भी \(x\in A\cup A'\) होगा, यानी \(U\subseteq A\cup A'\)। दूसरी ओर \(A\cup A'\) का कोई भी तत्व स्वाभाविक रूप से \(U\) में है, इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प \(A\) नजदीकी भ्रामक है क्योंकि \(A\) केवल उन तत्वों का समूह है जो खुद सेट \(A\) में हैं, पर \(A\cup A'\) में \(A\) के बाहर के तत्व भी आते हैं। परीक्षा टिप: तत्व-आधारित तर्क (element-wise proof) या वेन आरेख में शेडिंग से यह पहचानना तेज होता है। / For any element \(x\in U\) either \(x\in A\) or \(x\notin A\) (the latter means \(x\in A'\)). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup A'\); if \(x\notin A\) then \(x\in A'\) so again \(x\in A\cup A'\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\cup A'\), so \(U\subseteq A\cup A'\). The reverse inclusion is obvious, hence \(A\cup A'=U\). Option \(A\) is a common distractor: \(A\) may be a proper subset of \(U\), so it cannot equal the union with its complement. Exam tip: use an element-wise argument or shade the Venn diagram to verify quickly.

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वेन आरेख में \(A\cup A'\) किस सेट के बराबर होता है? / In a Venn diagram, \(A\cup A'\) is equal to which set?

Correct Answer: C. \(U\). Explanation: कोई भी तत्व \(x\in U\) के लिए या तो \(x\in A\) होगा या \(x\notin A\) होगा (यही \(A'\) की परिभाषा है)। यदि \(x\in A\) तो \(x\in A\cup A'\) और यदि \(x\notin A\) तो \(x\in A'\) इसलिए फिर भी \(x\in A\cup A'\)। अतः हर \(x\in U\) भी \(x\in A\cup A'\) होगा, यानी \(U\subseteq A\cup A'\)। दूसरी ओर \(A\cup A'\) का कोई भी तत्व स्वाभाविक रूप से \(U\) में है, इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प \(A\) नजदीकी भ्रामक है क्योंकि \(A\) केवल उन तत्वों का समूह है जो खुद सेट \(A\) में हैं, पर \(A\cup A'\) में \(A\) के बाहर के तत्व भी आते हैं। परीक्षा टिप: तत्व-आधारित तर्क (element-wise proof) या वेन आरेख में शेडिंग से यह पहचानना तेज होता है। / For any element \(x\in U\) either \(x\in A\) or \(x\notin A\) (the latter means \(x\in A'\)). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup A'\); if \(x\notin A\) then \(x\in A'\) so again \(x\in A\cup A'\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\cup A'\), so \(U\subseteq A\cup A'\). The reverse inclusion is obvious, hence \(A\cup A'=U\). Option \(A\) is a common distractor: \(A\) may be a proper subset of \(U\), so it cannot equal the union with its complement. Exam tip: use an element-wise argument or shade the Venn diagram to verify quickly.