यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में सम आकार वाले कितने उपसमुच्चय हैं?

Correct Answer: B. 16. Explanation: यदि किसी समुच्चय में \(n\) अवयव हों, तो उसके सम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, जब \(n\geq 1\)। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए संख्या \(2^{5-1}=16\) होगी। सीधे गणना करने पर भी \(\binom{5}{0}+\binom{5}{2}+\binom{5}{4}=1+10+5=16\) प्राप्त होता है। विकल्प 32 कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^5\) है, जिसमें सम और विषम दोनों आकार वाले उपसमुच्चय शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या, दोनों, \(2^{n-1}\) होती है। / For a set with \(n\) elements, the number of subsets having even cardinality is \(2^{n-1}\), provided \(n\geq 1\). Here \(n=5\), so the required number is \(2^{5-1}=16\). Equivalently, \(\binom{5}{0}+\binom{5}{2}+\binom{5}{4}=1+10+5=16\). The tempting option 32 is the total number of subsets, \(2^5\), including both even- and odd-sized subsets. Exam tip: for any non-empty finite set, the subsets of even and odd cardinality are equal in number, each being \(2^{n-1}\).