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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Power Set and Universal Set Expert Level 11

यदि समुच्चय \(U\) में 10 तत्व हैं, तो \(\mathcal{P}(U)\) के कितने सदस्य, \(U\) के किसी निश्चित 4-तत्वीय उपसमुच्चय से असंपृक्त हैं?

If the set \(U\) has 10 elements, how many members of \(\mathcal{P}(U)\) are disjoint from a fixed 4-element subset of \(U\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 64

Explanation

Simple Explanation

मान लें कि निश्चित 4-तत्वीय उपसमुच्चय के तत्व चुने नहीं जा सकते। शेष तत्वों की संख्या \(10-4=6\) है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए उपसमुच्चय में शामिल करने या न करने के 2 विकल्प हैं, इसलिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। विकल्प 32, \(2^5\), केवल 5 उपलब्ध तत्व मानने की गलती से मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी निश्चित \(k\)-तत्वीय समुच्चय से असंपृक्त \(n\)-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-k}\) होती है। / The 4 elements of the fixed subset cannot be included. Thus, only the remaining \(10-4=6\) elements are available. Each of these 6 elements may either be included or excluded, giving \(2^6=64\) subsets. The value 32, or \(2^5\), results from incorrectly counting only five available elements. Exam tip: the number of subsets disjoint from a fixed \(k\)-element subset of an \(n\)-element set is \(2^{n-k}\).

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यदि समुच्चय \(U\) में 10 तत्व हैं, तो \(\mathcal{P}(U)\) के कितने सदस्य, \(U\) के किसी निश्चित 4-तत्वीय उपसमुच्चय से असंपृक्त हैं? / If the set \(U\) has 10 elements, how many members of \(\mathcal{P}(U)\) are disjoint from a fixed 4-element subset of \(U\)?

Correct Answer: C. 64. Explanation: मान लें कि निश्चित 4-तत्वीय उपसमुच्चय के तत्व चुने नहीं जा सकते। शेष तत्वों की संख्या \(10-4=6\) है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए उपसमुच्चय में शामिल करने या न करने के 2 विकल्प हैं, इसलिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। विकल्प 32, \(2^5\), केवल 5 उपलब्ध तत्व मानने की गलती से मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी निश्चित \(k\)-तत्वीय समुच्चय से असंपृक्त \(n\)-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-k}\) होती है। / The 4 elements of the fixed subset cannot be included. Thus, only the remaining \(10-4=6\) elements are available. Each of these 6 elements may either be included or excluded, giving \(2^6=64\) subsets. The value 32, or \(2^5\), results from incorrectly counting only five available elements. Exam tip: the number of subsets disjoint from a fixed \(k\)-element subset of an \(n\)-element set is \(2^{n-k}\).