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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Power Set and Universal Set Expert Level 14

यदि \(n(A)=78\), \(n(B)=69\), \(n(C)=63\), \(n(A\cap B)=30\), \(n(B\cap C)=25\), \(n(C\cap A)=21\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हो, तो केवल समुच्चय A में कितने तत्व हैं?

If \(n(A)=78\), \(n(B)=69\), \(n(C)=63\), \(n(A\cap B)=30\), \(n(B\cap C)=25\), \(n(C\cap A)=21\) and \(n(A\cap B\cap C)=9\), how many elements are only in set A?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. 36

Explanation

Simple Explanation

केवल A में आने वाले तत्वों के लिए inclusion–exclusion प्रयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). क्योंकि तीनों में आने वाले तत्त्व दोनों जोड़-घटाव में दो बार घटे होते हैं इसलिए उन्हें एक बार वापस जोड़ा जाता है। यहाँ \(78-30-21+9=36\)। विकल्प (27) इसलिए गलत है क्योंकि वह त्रुटि से त्रिकूट (triple intersection) \(+9\) को जोड़ना भूल गया (\(78-30-21=27\))। अन्य विकल्प अधिक विचलित करने वाले हैं और गलत घटाव/जोड़ के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को लेबल करें या केवल A का फार्मूला याद रखें। / Use inclusion–exclusion for the region only in A: Only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). The triple-overlap was subtracted twice when removing pairwise intersections, so add it back once. Substituting gives \(78-30-21+9=36\). Answer 27 comes from forgetting to add the triple intersection (\(78-30-21=27\)), so that distractor is incorrect. The other choices result from other incorrect subtractions. Exam tip: draw the Venn diagram and label the seven regions or memorize the inclusion–exclusion expression for three sets.

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Correct Answer: A. 36. Explanation: केवल A में आने वाले तत्वों के लिए inclusion–exclusion प्रयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). क्योंकि तीनों में आने वाले तत्त्व दोनों जोड़-घटाव में दो बार घटे होते हैं इसलिए उन्हें एक बार वापस जोड़ा जाता है। यहाँ \(78-30-21+9=36\)। विकल्प (27) इसलिए गलत है क्योंकि वह त्रुटि से त्रिकूट (triple intersection) \(+9\) को जोड़ना भूल गया (\(78-30-21=27\))। अन्य विकल्प अधिक विचलित करने वाले हैं और गलत घटाव/जोड़ के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को लेबल करें या केवल A का फार्मूला याद रखें। / Use inclusion–exclusion for the region only in A: Only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). The triple-overlap was subtracted twice when removing pairwise intersections, so add it back once. Substituting gives \(78-30-21+9=36\). Answer 27 comes from forgetting to add the triple intersection (\(78-30-21=27\)), so that distractor is incorrect. The other choices result from other incorrect subtractions. Exam tip: draw the Venn diagram and label the seven regions or memorize the inclusion–exclusion expression for three sets.