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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Operations on Sets (Union, Intersection, Difference) Medium Level 18

यदि \(A\cup B = A\) है, तो सही निष्कर्ष क्या होगा?

If \(A\cup B = A\), what is the correct conclusion?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(B\subseteq A\)

Explanation

Simple Explanation

यदि \(A\cup B = A\) है, तो किसी भी \(x\in B\) के लिए \(x\in A\cup B\) होगा। परन्तु \(A\cup B = A\) होने से \(x\in A\) ही मिलता है। इसलिए हर \(x\in B\) भी \(x\in A\) है, अर्थात् \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) या \(A=B\) अनिवार्य नहीं हैं (उदाहरण: \(A=\{1,2\},\;B=\{1\}\) पर \(A\cup B=A\) परन्तु \(A\neq B\) और \(A\subseteq B\) गलत)। परीक्षा सुझाव: ऐसे सेट-समष्टि निष्कर्षों के लिए तत्व-तरीका अपनाएँ — किसी सर्वत्र तत्व \(x\in B\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in A\) होता है। / From \(A\cup B = A\) take any element \(x\in B\). Then \(x\in A\cup B\), and since \(A\cup B=A\) it follows that \(x\in A\). Hence every element of \(B\) is in \(A\), so \(B\subseteq A\). Statements like \(A\subseteq B\) or \(A=B\) need not hold (counterexample: \(A=\{1,2\}, B=\{1\}\)). Exam tip: use the element-wise method — assume \(x\in B\) and deduce \(x\in A\) to prove subset relations quickly and accurately.

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यदि \(A\cup B = A\) है, तो सही निष्कर्ष क्या होगा? / If \(A\cup B = A\), what is the correct conclusion?

Correct Answer: A. \(B\subseteq A\). Explanation: यदि \(A\cup B = A\) है, तो किसी भी \(x\in B\) के लिए \(x\in A\cup B\) होगा। परन्तु \(A\cup B = A\) होने से \(x\in A\) ही मिलता है। इसलिए हर \(x\in B\) भी \(x\in A\) है, अर्थात् \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) या \(A=B\) अनिवार्य नहीं हैं (उदाहरण: \(A=\{1,2\},\;B=\{1\}\) पर \(A\cup B=A\) परन्तु \(A\neq B\) और \(A\subseteq B\) गलत)। परीक्षा सुझाव: ऐसे सेट-समष्टि निष्कर्षों के लिए तत्व-तरीका अपनाएँ — किसी सर्वत्र तत्व \(x\in B\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in A\) होता है। / From \(A\cup B = A\) take any element \(x\in B\). Then \(x\in A\cup B\), and since \(A\cup B=A\) it follows that \(x\in A\). Hence every element of \(B\) is in \(A\), so \(B\subseteq A\). Statements like \(A\subseteq B\) or \(A=B\) need not hold (counterexample: \(A=\{1,2\}, B=\{1\}\)). Exam tip: use the element-wise method — assume \(x\in B\) and deduce \(x\in A\) to prove subset relations quickly and accurately.